1. Найдите значение выражения:
\[ \frac{7}{10} \cdot \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{5} \right) \]
Решение:
Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 8 и 5 равен 40.
\[ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} \]
\[ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{8}{40} \]
Теперь вычтем дроби:
\[ \frac{15}{40} - \frac{8}{40} = \frac{15 - 8}{40} = \frac{7}{40} \]
Теперь умножим полученный результат на \(\frac{7}{10}\):
\[ \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 7}{10 \cdot 40} = \frac{49}{400} \]
Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим 49 на 400:
\[ 49 \div 400 = 0.1225 \]
Ответ: 0.1225
2. Решите уравнение \(x^2 - 12x = -27\).
Решение:
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x^2 - 12x + 27 = 0 \]
Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.
Используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -12\), \(c = 27\).
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 \]
\[ D = 144 - 108 \]
\[ D = 36 \]
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
Формула для корней квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\[ x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
\[ x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Ответ: 3, 9
3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 150. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть первое число будет \(x\), а второе число будет \(y\).
Из условия задачи мы можем составить систему уравнений:
1) Сумма двух чисел равна 25: \(x + y = 25\)
2) Их произведение равно 150: \(x \cdot y = 150\)
Из первого уравнения выразим \(y\) через \(x\):
\[ y = 25 - x \]
Подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение:
\[ x \cdot (25 - x) = 150 \]
Раскроем скобки:
\[ 25x - x^2 = 150 \]
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ -x^2 + 25x - 150 = 0 \]
Умножим все на -1, чтобы коэффициент при \(x^2\) был положительным:
\[ x^2 - 25x + 150 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
\[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 \]
\[ D = 625 - 600 \]
\[ D = 25 \]
Найдем корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-25) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-25) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
Если \(x = 15\), то \(y = 25 - 15 = 10\).
Если \(x = 10\), то \(y = 25 - 10 = 15\).
Таким образом, искомые числа - это 10 и 15.
Ответ: 10, 15
4. На координатной прямой отмечены числа \(a\), \(b\) и \(c\). Отметьте на этой прямой какое-нибудь число \(x\) так, чтобы при этом выполнялись три условия: \(a - x < 0\), \(-x + b > 0\), \(-x + c > 0\).
Решение:
Перепишем каждое неравенство, чтобы выразить \(x\):
1) \(a - x < 0 \Rightarrow a < x \Rightarrow x > a\)
2) \(-x + b > 0 \Rightarrow b > x \Rightarrow x < b\)
3) \(-x + c > 0 \Rightarrow c > x \Rightarrow x < c\)
Таким образом, нам нужно найти такое число \(x\), которое удовлетворяет всем трем условиям:
\[ x > a \]
\[ x < b \]
\[ x < c \]
Посмотрим на координатную прямую. Числа \(a\), \(b\), \(c\) расположены в порядке возрастания: \(a < b < c\).
Из условий \(x < b\) и \(x < c\), а также того, что \(b < c\), следует, что достаточно выполнить условие \(x < b\), так как если \(x < b\), то \(x\) автоматически будет меньше \(c\).
Итак, нам нужно найти \(x\) такое, что \(a < x < b\).
На координатной прямой это означает, что число \(x\) должно находиться между \(a\) и \(b\).
Отметим любую точку между \(a\) и \(b\) и назовем ее \(x\).
Ответ: (На координатной прямой нужно отметить точку между \(a\) и \(b\))
Пример отметки:
\[ \text{---}\bullet\text{---}x\text{---}\bullet\text{---}\bullet\text{--->} \]
\[ \quad a \quad \quad \quad b \quad \quad c \]
5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.
Графики:
А) Парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (0,0).
Б) Гипербола, ветви расположены во II и IV четвертях, асимптоты - оси координат.
В) Ветвь параболы, начинающаяся в точке (0,0) и идущая в I четверть.
Г) Прямая линия, убывающая, пересекает ось y в точке (0,2).
Формулы:
1) \(y = \sqrt{x}\)
2) \(y = \frac{1}{2x}\)
3) \(y = -\frac{1}{4}x^2\)
4) \(y = -\frac{1}{2}x + 2\)
Решение:
Рассмотрим каждую формулу и соответствующий ей график:
Формула 1) \(y = \sqrt{x}\):
Это функция квадратного корня. Область определения \(x \ge 0\). График начинается в точке (0,0) и идет вверх вправо. Это соответствует графику В).
Формула 2) \(y = \frac{1}{2x}\):
Это обратная пропорциональность (гипербола). Если \(x > 0\), то \(y > 0\). Если \(x < 0\), то \(y < 0\). Ветви расположены в I и III четвертях. Однако на графике Б) ветви расположены во II и IV четвертях. Это означает, что перед дробью должен быть минус, или в знаменателе. Если бы было \(y = -\frac{1}{2x}\), то это соответствовало бы графику Б). Но в данном случае, график Б) соответствует функции вида \(y = \frac{k}{x}\) с \(k < 0\). Внимательно посмотрим на график Б): при \(x=1\), \(y=-1\). При \(x=-1\), \(y=1\). Это соответствует функции \(y = -\frac{1}{x}\). Формула 2) \(y = \frac{1}{2x}\) имеет ветви в I и III четвертях. Возможно, в задании опечатка или я неверно интерпретирую график Б. Если график Б) соответствует \(y = -\frac{1}{x}\), то ни одна из предложенных формул не подходит идеально. Однако, если предположить, что график Б) - это гипербола, и из предложенных вариантов она наиболее похожа на \(y = \frac{1}{2x}\) с учетом возможного отражения, то это может быть она. Но по стандартным правилам, \(y = \frac{1}{2x}\) имеет ветви в I и III четвертях. График Б) имеет ветви во II и IV четвертях. Это соответствует функции \(y = -\frac{k}{x}\) или \(y = \frac{k}{-x}\) при \(k>0\). Например, \(y = -\frac{1}{x}\). Если же мы рассматриваем \(y = \frac{1}{2x}\), то при \(x=1\), \(y=0.5\). При \(x=-1\), \(y=-0.5\). Это не соответствует графику Б). Давайте перепроверим графики. График Б) проходит через точки (1, -1) и (-1, 1). Это точно функция \(y = -\frac{1}{x}\). Среди предложенных формул нет \(y = -\frac{1}{x}\). Однако, если внимательно посмотреть на формулу 2) \(y = \frac{1}{2x}\), то при \(x=1\), \(y=0.5\). При \(x=-1\), \(y=-0.5\). Это не график Б). Возможно, в задании есть ошибка в формуле или графике. Давайте рассмотрим другие варианты. Если график Б) - это \(y = \frac{k}{x}\), то \(k\) должно быть отрицательным. Если мы должны выбрать из предложенных, то ни одна из них не подходит идеально для Б). Но обычно в таких заданиях предполагается, что есть соответствие. Давайте предположим, что график Б) - это гипербола, и из предложенных формул, только 2) является гиперболой. Возможно, график Б) нарисован не совсем точно или подразумевается, что это общий вид гиперболы. Если же мы строго следуем графику, то Б) - это \(y = -\frac{1}{x}\). Давайте пока оставим Б) и посмотрим на остальные. Формула 3) \(y = -\frac{1}{4}x^2\): Это квадратичная функция (парабола). Коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(-\frac{1}{4}\)), значит, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0,0). Это соответствует графику А). Формула 4) \(y = -\frac{1}{2}x + 2\): Это линейная функция (прямая). Коэффициент при \(x\) отрицательный (\(-\frac{1}{2}\)), значит, прямая убывает. Свободный член равен 2, значит, прямая пересекает ось \(y\) в точке (0,2). Это соответствует графику Г). Итак, у нас есть: А) соответствует 3) В) соответствует 1) Г) соответствует 4) Остается график Б) и формула 2) \(y = \frac{1}{2x}\). Как было замечено, график Б) соответствует \(y = -\frac{1}{x}\). Формула 2) \(y = \frac{1}{2x}\) имеет ветви в I и III четвертях. Если в задании нет ошибки, то график Б) должен соответствовать формуле 2). Но это не так. Однако, если это задание из ВПР, то иногда бывают неточности. Если мы вынуждены сопоставить, то Б) - это гипербола, и 2) - это гипербола. Давайте еще раз посмотрим на график Б). Он проходит через (1, -1) и (-1, 1). Если бы это была функция \(y = \frac{1}{2x}\), то при \(x=1\), \(y=0.5\). При \(x=-1\), \(y=-0.5\). Это не совпадает. Если бы это была функция \(y = -\frac{1}{2x}\), то при \(x=1\), \(y=-0.5\). При \(x=-1\), \(y=0.5\). Это тоже не совпадает. Единственное объяснение - это ошибка в задании или очень грубое изображение графика. Но если мы должны выбрать, то Б) - это гипербола, и 2) - это гипербола. В школьной программе часто упрощают графики. Давайте предположим, что график Б) все-таки соответствует формуле 2), несмотря на неточности в изображении. Тогда соответствие будет: А - 3 Б - 2 В - 1 Г - 4 Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
6. Отметьте на координатной прямой число \(\sqrt{174}\).
Решение:
Чтобы отметить число \(\sqrt{174}\) на координатной прямой, нужно оценить его значение. Для этого найдем ближайшие целые числа, квадраты которых близки к 174.
\[ 13^2 = 169 \]
\[ 14^2 = 196 \]
Так как \(169 < 174 < 196\), то \( \sqrt{169} < \sqrt{174} < \sqrt{196} \).
\[ 13 < \sqrt{174} < 14 \]
Число 174 находится ближе к 169, чем к 196 (разница \(174 - 169 = 5\), разница \(196 - 174 = 22\)).
Значит, \(\sqrt{174}\) будет немного больше 13, но значительно меньше 14. Оно будет находиться ближе к 13.
На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, ближе к 13.
Ответ: (На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, ближе к 13)
Пример отметки:
\[ \text{---}7\text{---}8\text{---}9\text{---}10\text{---}11\text{---}12\text{---}13\bullet\text{---}14\text{--->} \]
\[ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \sqrt{174} \]
7. Найдите значение выражения \(\frac{5(2k^5)^4}{k^{17}k^5}\) при \(k = 2\sqrt{5}\).
Решение:
Сначала упростим выражение:
\[ \frac{5(2k^5)^4}{k^{17}k^5} \]
Возведем в степень числитель:
\[ (2k^5)^4 = 2^4 \cdot (k^5)^4 = 16 \cdot k^{5 \cdot 4} = 16k^{20} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{5 \cdot 16k^{20}}{k^{17}k^5} \]
Умножим числа в числителе:
\[ 5 \cdot 16 = 80 \]
Сложим степени \(k\) в знаменателе (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):
\[ k^{17}k^5 = k^{17+5} = k^{22} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{80k^{20}}{k^{22}} \]
Разделим степени \(k\) (при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются):
\[ \frac{k^{20}}{k^{22}} = k^{20-22} = k^{-2} = \frac{1}{k^2} \]
Окончательно упрощенное выражение:
\[ 80 \cdot \frac{1}{k^2} = \frac{80}{k^2} \]
Теперь подставим значение \(k = 2\sqrt{5}\) в упрощенное выражение:
\[ k^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \]
Подставим \(k^2 = 20\) в выражение \(\frac{80}{k^2}\):
\[ \frac{80}{20} = 4 \]
Ответ: 4
8. Вероятность того, что в некотором городе в случайный момент времени атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст., равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени давление составляет менее 748 мм рт. ст.
Решение:
Пусть событие А - "атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление больше или равно 748 мм рт. ст.
Вероятность события А, \(P(A)\), равна 0,62.
Нам нужно найти вероятность события В - "давление составляет менее 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление строго меньше 748 мм рт. ст.
События А и В являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
\[ P(A) + P(B) = 1 \]
\[ 0,62 + P(B) = 1 \]
\[ P(B) = 1 - 0,62 \]
\[ P(B) = 0,38 \]
Ответ: 0.38
9. Углы треугольника относятся как 3:6:11. Найдите меньший из этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть углы треугольника равны \(3x\), \(6x\) и \(11x\).
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
\[ 3x + 6x + 11x = 180 \]
Сложим коэффициенты при \(x\):
\[ (3 + 6 + 11)x = 180 \]
\[ 20x = 180 \]
Найдем значение \(x\):
\[ x = \frac{180}{20} \]
\[ x = 9 \]
Теперь найдем величину каждого угла:
Первый угол: \(3x = 3 \cdot 9 = 27^\circ\)
Второй угол: \(6x = 6 \cdot 9 = 54^\circ\)
Третий угол: \(11x = 11 \cdot 9 = 99^\circ\)
Проверим сумму углов: \(27^\circ + 54^\circ + 99^\circ = 180^\circ\). Все верно.
Меньший из этих углов - это \(3x\).
Меньший угол равен \(27^\circ\).
Ответ: 27
10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки А и В. Найдите длину отрезка АВ.
Решение:
Для нахождения длины отрезка АВ на клетчатой бумаге можно использовать теорему Пифагора.
Сначала определим координаты точек А и В. Пусть начало координат (0,0) находится в левом нижнем углу сетки.
Посчитаем клетки:
Точка А находится в координатах (1, 1).
Точка В находится в координатах (8, 6).
Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ. Катеты этого треугольника будут параллельны осям координат.
Длина горизонтального катета (разность по оси x):
\[ \Delta x = |x_B - x_A| = |8 - 1| = 7 \]
Длина вертикального катета (разность по оси y):
\[ \Delta y = |y_B - y_A| = |6 - 1| = 5 \]
По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:
\[ AB^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 \]
\[ AB^2 = 7^2 + 5^2 \]
\[ AB^2 = 49 + 25 \]
\[ AB^2 = 74 \]
\[ AB = \sqrt{74} \]
Ответ: \(\sqrt{74}\)
11. Саша хочет обвести граф, изображённый на рисунке, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Саше стоит начать обводить граф?
Решение:
Эта задача относится к теории графов, а именно к эйлеровым путям и циклам.
Эйлеров путь - это путь в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз. Эйлеров цикл - это эйлеров путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине.
Для существования эйлерова пути в связном графе необходимо и достаточно, чтобы количество вершин нечетной степени (то есть вершин, из которых выходит нечетное число ребер) было равно 0 или 2.
Если количество вершин нечетной степени равно 0, то существует эйлеров цикл, и начать можно с любой вершины.
Если количество вершин нечетной степени равно 2, то существует эйлеров путь, и он должен начинаться в одной из вершин нечетной степени и заканчиваться в другой.
Давайте определим степень каждой вершины в данном графе:
Вершина A: из нее выходят 2 ребра (A-B, A-C). Степень = 2 (четная).
Вершина B: из нее выходят 3 ребра (B-A, B-O, B-D). Степень = 3 (нечетная).
Вершина C: из нее выходят 3 ребра (C-A, C-O, C-E). Степень = 3 (нечетная).
Вершина D: из нее выходят 2 ребра (D-B, D-F). Степень = 2 (четная).
Вершина E: из нее выходят 2 ребра (E-C, E-F). Степень = 2 (четная).
Вершина F: из нее выходят 2 ребра (F-D, F-E). Степень = 2 (четная).
Вершина O: из нее выходят 2 ребра (O-B, O-C). Степень = 2 (четная).
У нас есть две вершины нечетной степени: B и C.
Поскольку количество вершин нечетной степени равно 2, эйлеров путь существует, и он должен начинаться в одной из этих вершин (B или C) и заканчиваться в другой.
Саша может начать обводить граф с вершины B или с вершины C.
Ответ: B или C
12. Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.
1) Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
2) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
3) Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
Это утверждение относится к неравенству треугольника. Неравенство треугольника гласит, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон и больше модуля разности длин двух других сторон.
То есть, для сторон \(a, b, c\) треугольника должны выполняться условия:
\[ a < b + c \]
\[ b < a + c \]
\[ c < a + b \]
И также:
\[ a > |b - c| \]
\[ b > |a - c| \]
\[ c > |a - b| \]
Утверждение "Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон" противоречит второму набору неравенств. Например, если \(a < |b - c|\), то это не может быть треугольником. Например, если стороны 3, 4, 5. \(3 < |5-4|\) это \(3 < 1\), что ложно. Значит, утверждение 1) является ложным.
2) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
В правильном треугольнике (равностороннем) все замечательные точки (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот) совпадают. Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. Высоты в правильном треугольнике также являются медианами и биссектрисами. Следовательно, точка пересечения высот является также точкой пересечения биссектрис, а значит, центром вписанной окружности. Утверждение 2) является истинным.
3) Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Это один из признаков параллельности прямых. Если две прямые пересечены третьей прямой (секущей) и при этом соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны. Утверждение 3) является истинным.
Таким образом, ложным является утверждение под номером 1.
Ответ: 1