Решение математических задач с подробным объяснением

Вот решения задач с подробным объяснением, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь.

Задание 1

Найдите значение выражения \( \frac{7}{10} \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{5} \right) \).

Решение:

Сначала выполним действие в скобках: вычитание дробей. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для 8 и 5 равен 40.

\[ \frac{3}{8} - \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{15}{40} - \frac{8}{40} = \frac{15 - 8}{40} = \frac{7}{40} \]

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

\[ \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{40} \]

Для умножения дробей перемножим числители и знаменатели:

\[ \frac{7 \cdot 7}{10 \cdot 40} = \frac{49}{400} \]

Ответ:

0,1225

Задание 2

Решите уравнение \( x^2 - 12x = -27 \).

Решение:

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x^2 - 12x + 27 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Способ 1: Через дискриминант

Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 27 \).

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 \] \[ D = 144 - 108 \] \[ D = 36 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

\[ x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Способ 2: По теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения \( x^2 + px + q = 0 \), сумма корней \( x_1 + x_2 = -p \), а произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = q \).

В нашем уравнении \( x^2 - 12x + 27 = 0 \), \( p = -12 \), \( q = 27 \).

Значит:

\[ x_1 + x_2 = 12 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 27 \]

Подбираем два числа, сумма которых равна 12, а произведение равно 27. Это числа 3 и 9.

\[ 3 + 9 = 12 \] \[ 3 \cdot 9 = 27 \]

Таким образом, корни уравнения \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 9 \).

Ответ:

3; 9

Задание 3

Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 150. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим искомые числа как \( x \) и \( y \).

Из условия задачи мы можем составить систему уравнений:

1. \( x + y = 25 \) (сумма чисел)
2. \( x \cdot y = 150 \) (произведение чисел)

Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = 25 - x \]

Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

\[ x \cdot (25 - x) = 150 \]

Раскроем скобки:

\[ 25x - x^2 = 150 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 25x + 150 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -25 \), \( c = 150 \).

\[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 \] \[ D = 625 - 600 \] \[ D = 25 \]

Корни уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{-(-25) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{-(-25) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{25 - 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Если \( x = 15 \), то \( y = 25 - 15 = 10 \).

Если \( x = 10 \), то \( y = 25 - 10 = 15 \).

Таким образом, искомые числа - это 10 и 15.

Ответ:

10; 15

Задание 4

На координатной прямой отмечены числа \( a \), \( b \) и \( c \). Отметьте на этой прямой какое-нибудь число \( x \) так, чтобы при этом выполнялись три условия: \( a - x < 0 \), \( -x + b > 0 \), \( -x + c > 0 \).

Решение:

Давайте проанализируем каждое неравенство по отдельности:

1. \( a - x < 0 \)

Прибавим \( x \) к обеим частям неравенства:

\[ a < x \]

Это означает, что число \( x \) должно быть больше числа \( a \).

2. \( -x + b > 0 \)

Прибавим \( x \) к обеим частям неравенства:

\[ b > x \]

Это означает, что число \( x \) должно быть меньше числа \( b \).

3. \( -x + c > 0 \)

Прибавим \( x \) к обеим частям неравенства:

\[ c > x \]

Это означает, что число \( x \) должно быть меньше числа \( c \).

Объединим все три условия:

\[ a < x \] \[ x < b \] \[ x < c \]

Из рисунка видно, что \( a < b < c \). Следовательно, если \( x < b \), то автоматически \( x < c \) (поскольку \( b < c \)).

Таким образом, нам нужно найти такое число \( x \), которое удовлетворяет условиям \( a < x \) и \( x < b \).

Это означает, что число \( x \) должно находиться между \( a \) и \( b \).

Ответ:

На координатной прямой нужно отметить точку \( x \) между точками \( a \) и \( b \).

Пример отметки:

Нарисуйте координатную прямую. Отметьте точки \( a \), \( b \), \( c \) в порядке возрастания. Затем поставьте точку \( x \) в любом месте между \( a \) и \( b \).

Например:

<---•---•---•---•--->

a x b c

Задание 5

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.

ГРАФИКИ:

А) Парабола, ветви направлены вниз, вершина в начале координат.

Б) Гипербола, ветви в I и III четвертях, асимптоты - оси координат.

В) График корня, начинается в начале координат и идет в I четверть.

Г) Прямая линия, убывающая, пересекает ось y выше начала координат.

ФОРМУЛЫ:

1) \( y = \sqrt{x} \)

2) \( y = \frac{1}{2x} \)

3) \( y = -\frac{1}{4}x^2 \)

4) \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)

Решение:

Давайте проанализируем каждую формулу и сопоставим ее с соответствующим графиком.

1. \( y = \sqrt{x} \)

Это функция квадратного корня. Область определения \( x \ge 0 \). График начинается в точке (0,0) и возрастает. Это соответствует графику В).

Значит, В - 1.

2. \( y = \frac{1}{2x} \)

Это обратная пропорциональность, график которой является гиперболой. Поскольку коэффициент перед \( \frac{1}{x} \) положительный (\( \frac{1}{2} \)), ветви гиперболы расположены в I и III четвертях. Это соответствует графику Б).

Значит, Б - 2.

3. \( y = -\frac{1}{4}x^2 \)

Это квадратичная функция \( y = ax^2 \). Поскольку коэффициент \( a = -\frac{1}{4} \) отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат (0,0). Это соответствует графику А).

Значит, А - 3.

4. \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)

   Это линейная функция \( y = kx + b \). Коэффициент \( k = -\frac{1}{2} \) отрицательный, что означает, что прямая убывает. Свободный член \( b = 2 \) означает, что прямая пересекает ось \( y \) в точке (0,2). Это соответствует графику Г).

   Значит, Г - 4.

Ответ:

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А: 3

Б: 2

В: 1

Г: 4

Ответ: 3214

Задание 6

Отметьте на координатной прямой число \( \sqrt{174} \).

Решение:

Чтобы отметить число \( \sqrt{174} \) на координатной прямой, нужно оценить его значение. Для этого найдем ближайшие целые числа, квадраты которых находятся рядом с 174.

Рассмотрим квадраты целых чисел:

\[ 10^2 = 100 \] \[ 11^2 = 121 \] \[ 12^2 = 144 \] \[ 13^2 = 169 \] \[ 14^2 = 196 \]

Мы видим, что \( 169 < 174 < 196 \).

Из этого следует, что \( \sqrt{169} < \sqrt{174} < \sqrt{196} \).

То есть, \( 13 < \sqrt{174} < 14 \).

Теперь определим, к какому из чисел, 13 или 14, \( \sqrt{174} \) ближе.

Разница между 174 и 169: \( 174 - 169 = 5 \).

Разница между 196 и 174: \( 196 - 174 = 22 \).

Поскольку 174 ближе к 169, чем к 196, то \( \sqrt{174} \) будет ближе к 13, чем к 14.

На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, но ближе к 13.

Ответ:

На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, ближе к 13.

Пример отметки:

<---•---•---•---•---•---•---•---•---•---•---•---•---•---•--->

7 8 9 10 11 12 13 √174 14

Задание 7

Найдите значение выражения \( \frac{5(2k^4)^4}{k^{17}k^5} \) при \( k = 2\sqrt{5} \).

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.

В числителе: \( (2k^4)^4 = 2^4 \cdot (k^4)^4 = 16 \cdot k^{4 \cdot 4} = 16k^{16} \).

Тогда числитель становится: \( 5 \cdot 16k^{16} = 80k^{16} \).

В знаменателе: \( k^{17}k^5 = k^{17+5} = k^{22} \).

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{80k^{16}}{k^{22}} \]

Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 80k^{16-22} = 80k^{-6} \]

Используем свойство \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):

\[ \frac{80}{k^6} \]

Теперь подставим значение \( k = 2\sqrt{5} \) в упрощенное выражение.

\[ k^6 = (2\sqrt{5})^6 \]

Распишем \( (2\sqrt{5})^6 \) как \( ( (2\sqrt{5})^2 )^3 \):

\[ (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \]

Теперь возведем 20 в куб:

\[ (20)^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 400 \cdot 20 = 8000 \]

Итак, \( k^6 = 8000 \).

Подставим это значение в выражение:

\[ \frac{80}{8000} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{80}{8000} = \frac{8}{800} = \frac{1}{100} \]

В десятичной дроби это 0,01.

Ответ:

0,01

Задание 8

Вероятность того, что в некотором городе в случайный момент времени атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст., равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени давление составляет менее 748 мм рт. ст.

Решение:

Пусть событие А - "атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст.". Вероятность этого события \( P(A) = 0,62 \).

Событие, которое нас интересует, - "давление составляет менее 748 мм рт. ст.". Это событие является противоположным событию А.

Обозначим противоположное событие как \( \bar{A} \).

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:

\[ P(A) + P(\bar{A}) = 1 \]

Чтобы найти вероятность \( P(\bar{A}) \), вычтем \( P(A) \) из 1:

\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \] \[ P(\bar{A}) = 1 - 0,62 \] \[ P(\bar{A}) = 0,38 \]

Ответ:

0,38

Задание 9

Углы треугольника относятся как 3:6:11. Найдите меньший из этих углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть углы треугольника равны \( 3x \), \( 6x \) и \( 11x \), где \( x \) - некоторый коэффициент пропорциональности.

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Составим уравнение:

\[ 3x + 6x + 11x = 180 \]

Сложим коэффициенты при \( x \):

\[ (3 + 6 + 11)x = 180 \] \[ 20x = 180 \]

Найдем значение \( x \):

\[ x = \frac{180}{20} \] \[ x = 9 \]

Теперь найдем величину каждого угла:

Первый угол: \( 3x = 3 \cdot 9 = 27^\circ \)

Второй угол: \( 6x = 6 \cdot 9 = 54^\circ \)

Третий угол: \( 11x = 11 \cdot 9 = 99^\circ \)

Проверим сумму углов: \( 27^\circ + 54^\circ + 99^\circ = 180^\circ \). Все верно.

Меньший из этих углов - это \( 3x \).

Меньший угол равен \( 27^\circ \).

Ответ:

27

Задание 10

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки \( A \) и \( B \). Найдите длину отрезка \( AB \).

Решение:

Для нахождения длины отрезка \( AB \) на клетчатой бумаге можно использовать теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок \( AB \).

Определим координаты точек \( A \) и \( B \). Пусть точка \( A \) находится в начале координат (0,0) для удобства отсчета. Посчитаем, насколько точка \( B \) смещена относительно точки \( A \) по горизонтали (по оси \( x \)) и по вертикали (по оси \( y \)).

Из рисунка видно:

• Смещение по горизонтали (катет \( \Delta x \)): от точки \( A \) до точки \( B \) по горизонтали 6 клеток.
• Смещение по вертикали (катет \( \Delta y \)): от точки \( A \) до точки \( B \) по вертикали 8 клеток.

Длина отрезка \( AB \) (гипотенуза \( c \)) находится по формуле:

\[ AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \] \[ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} \] \[ AB = \sqrt{36 + 64} \] \[ AB = \sqrt{100} \] \[ AB = 10 \]

Ответ:

10

Задание 11

Саша хочет обвести граф, изображённый на рисунке, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Саше стоит начать обводить граф?

Решение:

Эта задача связана с теорией графов, а именно с эйлеровыми путями и циклами. Эйлеров путь - это путь в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз. Эйлеров цикл - это эйлеров путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

Для существования эйлерова пути в связном графе необходимо и достаточно, чтобы количество вершин нечетной степени (то есть, из которых выходит нечетное число ребер) было равно 0 или 2.

• Если количество вершин нечетной степени равно 0, то существует эйлеров цикл (можно начать с любой вершины и закончить в ней же).
• Если количество вершин нечетной степени равно 2, то существует эйлеров путь, который должен начинаться в одной из вершин нечетной степени и заканчиваться в другой.

Давайте посчитаем степени каждой вершины в данном графе:

• Вершина A: из нее выходят 3 ребра (A-B, A-C, A-O). Степень = 3 (нечетная).
• Вершина B: из нее выходят 2 ребра (B-A, B-D). Степень = 2 (четная).
• Вершина C: из нее выходят 2 ребра (C-A, C-E). Степень = 2 (четная).
• Вершина D: из нее выходят 2 ребра (D-B, D-F). Степень = 2 (четная).
• Вершина E: из нее выходят 2 ребра (E-C, E-F). Степень = 2 (четная).
• Вершина F: из нее выходят 3 ребра (F-D, F-E, F-O). Степень = 3 (нечетная).
• Вершина O: из нее выходят 2 ребра (O-A, O-F). Степень = 2 (четная).

Мы видим, что в графе есть две вершины нечетной степени: A и F.

Поскольку количество вершин нечетной степени равно 2, эйлеров путь существует, и он должен начинаться в одной из этих вершин (A или F) и заканчиваться в другой.

Саша может начать обводить граф с вершины A или с вершины F.

Ответ:

A или F

Задание 12

Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.

1. Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
2. Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
3. Если при пересечении двух данных прямых третьей соответствующие углы равны, то данные прямые параллельны.

Решение:

Проанализируем каждое утверждение:

1. "Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон."

   Это утверждение является ложным. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других сторон и больше модуля разности длин двух других сторон.

   Например, для сторон \( a, b, c \):

   \[ a < b + c \] \[ a > |b - c| \]

   Утверждение гласит, что \( a < |b - c| \), что противоречит неравенству треугольника. Например, если стороны треугольника 3, 4, 5, то \( 5 < |4 - 3| \) или \( 5 < 1 \) - это неверно.

   Таким образом, утверждение 1 ложно.

2. "Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот."

   Это утверждение является истинным. В правильном (равностороннем) треугольнике все замечательные точки (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения высот) совпадают. Точка пересечения высот называется ортоцентром. В правильном треугольнике ортоцентр совпадает с центром вписанной окружности.

   Таким образом, утверждение 2 истинно.

3. "Если при пересечении двух данных прямых третьей соответствующие углы равны, то данные прямые параллельны."

   Это утверждение является истинным. Это один из признаков параллельности двух прямых, пересеченных третьей (секущей). Если соответствующие углы равны, то прямые параллельны. Также прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны или сумма односторонних углов равна 180 градусам.

   Таким образом, утверждение 3 истинно.

Ложным является утверждение под номером 1.

Ответ:

1