ВПР. Математика. 8 класс. Вариант 2. Часть 1
1. Найдите значение выражения \( \frac{7}{10} : \left( \frac{3}{8} - \frac{1}{5} \right) \).
Решение:
Сначала выполним действие в скобках: вычитание дробей.
Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 5 — это 40.
\( \frac{3}{8} - \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{15}{40} - \frac{8}{40} = \frac{15 - 8}{40} = \frac{7}{40} \).
Теперь выполним деление:
\( \frac{7}{10} : \frac{7}{40} \).
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть перевернутую вторую дробь).
\( \frac{7}{10} : \frac{7}{40} = \frac{7}{10} \cdot \frac{40}{7} \).
Сократим числитель 7 и знаменатель 7. Сократим числитель 40 и знаменатель 10.
\( \frac{\cancel{7}}{10} \cdot \frac{40}{\cancel{7}} = \frac{1}{10} \cdot 40 = \frac{40}{10} = 4 \).
Ответ: 4.
2. Решите уравнение \( x^2 - 12x = -27 \).
Решение:
Это квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \).
\( x^2 - 12x + 27 = 0 \).
Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) и формулу корней \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 27 \).
Найдем дискриминант:
\( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36 \).
Теперь найдем корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).
\( x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
Ответ: 3, 9.
3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 150. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть искомые числа будут \( x \) и \( y \).
По условию задачи мы можем составить систему уравнений:
1) \( x + y = 25 \)
2) \( x \cdot y = 150 \)
Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):
\( y = 25 - x \).
Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:
\( x \cdot (25 - x) = 150 \).
Раскроем скобки:
\( 25x - x^2 = 150 \).
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( x^2 - 25x + 150 = 0 \).
Решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета.
По теореме Виета: сумма корней равна 25, а произведение корней равно 150.
Подберем такие числа. Например, 10 и 15:
\( 10 + 15 = 25 \)
\( 10 \cdot 15 = 150 \)
Значит, корни уравнения \( x_1 = 10 \) и \( x_2 = 15 \).
Если \( x = 10 \), то \( y = 25 - 10 = 15 \).
Если \( x = 15 \), то \( y = 25 - 15 = 10 \).
В обоих случаях пара чисел (10, 15) или (15, 10) удовлетворяет условиям задачи.
Ответ: 10, 15.
4. На координатной прямой отмечены числа \( a \), \( b \) и \( c \). Отметьте на этой прямой какое-нибудь число \( x \) так, чтобы при этом выполнялись три условия: \( a - x < 0 \), \( -x + b > 0 \), \( -x + c > 0 \).
Решение:
Перепишем каждое неравенство, чтобы выразить \( x \):
1) \( a - x < 0 \)
\( a < x \)
Это означает, что \( x \) должно быть больше \( a \).
2) \( -x + b > 0 \)
\( b > x \)
Это означает, что \( x \) должно быть меньше \( b \).
3) \( -x + c > 0 \)
\( c > x \)
Это означает, что \( x \) должно быть меньше \( c \).
Итак, мы имеем три условия для \( x \):
\( x > a \)
\( x < b \)
\( x < c \)
Посмотрим на координатную прямую. Числа \( a \), \( b \), \( c \) расположены в порядке возрастания: \( a < b < c \).
Из условий \( x < b \) и \( x < c \), а также того, что \( b < c \), следует, что достаточно выполнить условие \( x < b \), так как если \( x < b \), то \( x \) автоматически будет меньше \( c \).
Таким образом, нам нужно найти такое \( x \), которое удовлетворяет условиям \( a < x \) и \( x < b \).
Это означает, что \( x \) должно находиться между \( a \) и \( b \): \( a < x < b \).
На координатной прямой нужно отметить любую точку между \( a \) и \( b \).
Ответ: (На координатной прямой нужно отметить точку \( x \) между \( a \) и \( b \)).
Пример отметки на прямой:
<----------------------------------------------------->
a x b c
•-------•-------•---------------•
5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые задают эти функции.
ГРАФИКИ
А) Парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (0,0).
Б) Гипербола, ветви расположены в I и III четвертях, асимптоты - оси координат.
В) График корня, начинается в точке (0,0) и идет вправо вверх.
Г) Прямая линия, убывающая, пересекает ось y в точке (0,2).
ФОРМУЛЫ
1) \( y = \sqrt{x} \)
2) \( y = \frac{1}{2x} \)
3) \( y = -\frac{1}{4}x^2 \)
4) \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)
Решение:
Рассмотрим каждую формулу и соответствующий ей график:
1) \( y = \sqrt{x} \)
Это функция квадратного корня. Её график начинается в точке (0,0) и идет вправо вверх, так как \( x \) не может быть отрицательным (под корнем). Это соответствует графику В).
2) \( y = \frac{1}{2x} \)
Это обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III четвертях. Асимптотами являются оси координат. Это соответствует графику Б).
3) \( y = -\frac{1}{4}x^2 \)
Это квадратичная функция \( y = ax^2 \). Поскольку коэффициент \( a = -\frac{1}{4} \) отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0,0). Это соответствует графику А).
4) \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \)
Это линейная функция \( y = kx + b \). Коэффициент \( k = -\frac{1}{2} \) отрицательный, что означает, что прямая убывает. Коэффициент \( b = 2 \) означает, что прямая пересекает ось \( y \) в точке (0,2). Это соответствует графику Г).
Соответствие:
А - 3
Б - 2
В - 1
Г - 4
Ответ:
| А | Б | В | Г |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
6. Отметьте на координатной прямой число \( \sqrt{174} \).
Решение:
Чтобы отметить число \( \sqrt{174} \) на координатной прямой, нужно оценить его значение, найдя ближайшие целые числа, квадраты которых близки к 174.
Найдем квадраты целых чисел:
\( 10^2 = 100 \)
\( 11^2 = 121 \)
\( 12^2 = 144 \)
\( 13^2 = 169 \)
\( 14^2 = 196 \)
Мы видим, что \( 169 < 174 < 196 \).
Это означает, что \( \sqrt{169} < \sqrt{174} < \sqrt{196} \).
То есть \( 13 < \sqrt{174} < 14 \).
Число \( \sqrt{174} \) находится между 13 и 14.
Чтобы точнее определить его положение, можно заметить, что 174 ближе к 169, чем к 196 (разница \( 174 - 169 = 5 \), разница \( 196 - 174 = 22 \)).
Значит, \( \sqrt{174} \) будет находиться ближе к 13, чем к 14.
На координатной прямой нужно отметить точку между 13 и 14, ближе к 13.
Ответ:
<----------------------------------------------------->
7 8 9 10 11 12 13 • 14
•---•---•---•---•---•---•---x---•
(Точка \( x \) должна быть отмечена между 13 и 14, ближе к 13).
7. Найдите значение выражения \( \frac{5(2k^5)^4}{k^{17}k^5} \) при \( k = 2\sqrt{5} \).
Решение:
Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.
В числителе: \( (2k^5)^4 = 2^4 \cdot (k^5)^4 = 16 \cdot k^{5 \cdot 4} = 16k^{20} \).
Тогда числитель становится \( 5 \cdot 16k^{20} = 80k^{20} \).
В знаменателе: \( k^{17}k^5 = k^{17+5} = k^{22} \).
Теперь выражение выглядит так:
\( \frac{80k^{20}}{k^{22}} \).
Сократим степени \( k \):
\( \frac{80k^{20}}{k^{22}} = \frac{80}{k^{22-20}} = \frac{80}{k^2} \).
Теперь подставим значение \( k = 2\sqrt{5} \) в упрощенное выражение.
\( k^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20 \).
Подставим \( k^2 = 20 \) в выражение:
\( \frac{80}{20} = 4 \).
Ответ: 4.
8. Вероятность того, что в некотором городе в случайный момент времени атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст., равна 0,62. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени давление составляет менее 748 мм рт. ст.
Решение:
Пусть событие А — "атмосферное давление не ниже 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление \( \ge 748 \) мм рт. ст.
Вероятность этого события \( P(A) = 0,62 \).
Нам нужно найти вероятность события В — "давление составляет менее 748 мм рт. ст.". Это означает, что давление \( < 748 \) мм рт. ст.
События А и В являются противоположными. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
\( P(A) + P(B) = 1 \).
Тогда \( P(B) = 1 - P(A) \).
\( P(B) = 1 - 0,62 = 0,38 \).
Ответ: 0,38.
9. Углы треугольника относятся как 3:6:11. Найдите меньший из этих углов. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть углы треугольника равны \( 3x \), \( 6x \) и \( 11x \), где \( x \) — некоторый коэффициент пропорциональности.
Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Составим уравнение:
\( 3x + 6x + 11x = 180 \).
Сложим коэффициенты при \( x \):
\( (3 + 6 + 11)x = 180 \).
\( 20x = 180 \).
Найдем \( x \):
\( x = \frac{180}{20} = 9 \).
Теперь найдем величину каждого угла:
Первый угол: \( 3x = 3 \cdot 9 = 27 \) градусов.
Второй угол: \( 6x = 6 \cdot 9 = 54 \) градуса.
Третий угол: \( 11x = 11 \cdot 9 = 99 \) градусов.
Проверим сумму: \( 27 + 54 + 99 = 180 \). Верно.
Меньший из этих углов — это \( 3x \).
Меньший угол равен 27 градусам.
Ответ: 27.
10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки А и В. Найдите длину отрезка АВ.
Решение:
Для нахождения длины отрезка АВ на клетчатой бумаге можно использовать теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а катеты параллельны осям координат.
Посчитаем координаты точек А и В, если считать, что левый нижний угол сетки - это (0,0).
Точка А имеет координаты (1, 1).
Точка В имеет координаты (8, 7).
Длина горизонтального катета (разность по x) \( \Delta x = |8 - 1| = 7 \).
Длина вертикального катета (разность по y) \( \Delta y = |7 - 1| = 6 \).
По теореме Пифагора, длина отрезка АВ (гипотенузы) \( L = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \).
\( L = \sqrt{7^2 + 6^2} = \sqrt{49 + 36} = \sqrt{85} \).
Ответ: \( \sqrt{85} \).
11. Саша хочет обвести граф, изображённый на рисунке, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Саше стоит начать обводить граф?
Решение:
Эта задача относится к теории графов, а именно к эйлеровым путям и циклам. Граф можно обвести, не отрывая карандаша и не проводя ни одно ребро дважды, если он содержит эйлеров путь или эйлеров цикл.
Эйлеров путь существует, если в графе не более двух вершин нечётной степени (то есть из которых выходит нечётное число рёбер). Если таких вершин две, то путь должен начинаться в одной из них и заканчиваться в другой. Если таких вершин нет (все вершины чётной степени), то существует эйлеров цикл, и начать можно с любой вершины.
Посчитаем степени каждой вершины (количество рёбер, выходящих из вершины):
Вершина A: из неё выходят 2 ребра (AB, AC). Степень = 2 (чётная).
Вершина B: из неё выходят 3 ребра (BA, BO, BD). Степень = 3 (нечётная).
Вершина C: из неё выходят 3 ребра (CA, CO, CE). Степень = 3 (нечётная).
Вершина D: из неё выходят 2 ребра (DB, DO). Степень = 2 (чётная).
Вершина E: из неё выходят 2 ребра (EC, EO). Степень = 2 (чётная).
Вершина F: из неё выходят 2 ребра (FO, FE). Степень = 2 (чётная).
Вершина O: из неё выходят 6 рёбер (OB, OC, OD, OE, OF, OA). Степень = 6 (чётная).
В графе есть две вершины нечётной степени: B и C. Остальные вершины имеют чётную степень.
Это означает, что в графе существует эйлеров путь, который начинается в одной из вершин нечётной степени и заканчивается в другой вершине нечётной степени.
Следовательно, Саша может начать обводить граф с вершины B или с вершины C.
Ответ: B или C.
12. Укажите номер утверждения, которое является ложным высказыванием.
1) Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон.
2) Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
3) Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) "Длина каждой стороны треугольника меньше разности длин двух других его сторон."
Это утверждение ложно. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других сторон и больше их разности. То есть, если стороны \( a, b, c \), то \( |a - b| < c < a + b \). Утверждение гласит, что \( c < |a - b| \), что противоречит неравенству треугольника. Например, если стороны 3, 4, 5, то \( 5 < |4-3| \) или \( 5 < 1 \) - это неверно.
2) "Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот."
Это утверждение истинно. В правильном (равностороннем) треугольнике высоты, медианы, биссектрисы и серединные перпендикуляры совпадают. Точка их пересечения является центром вписанной и описанной окружностей.
3) "Если при пересечении двух данных прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны."
Это утверждение истинно. Это один из признаков параллельности прямых. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Таким образом, ложным является утверждение под номером 1.
Ответ: 1.