Решение задачи: Прямоугольный параллелепипед

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику.
1. В прямоугольном параллелепипеде известно, что \(AC_1 = 13\), \(C_1D_1 = 3\), \(A_1D_1 = 12\). Найдите длину ребра \(AA_1\). Решение: Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(a\), \(b\) и \(c\). В данном случае: \(C_1D_1\) - это длина ребра, обозначим её как \(a\). Значит, \(a = 3\). \(A_1D_1\) - это длина ребра, обозначим её как \(b\). Значит, \(b = 12\). \(AA_1\) - это длина ребра, обозначим её как \(c\). Нам нужно найти \(c\). \(AC_1\) - это диагональ параллелепипеда. Формула для диагонали прямоугольного параллелепипеда: \[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\] В нашем случае \(d = AC_1 = 13\). Подставим известные значения в формулу: \[13^2 = 3^2 + 12^2 + c^2\] \[169 = 9 + 144 + c^2\] \[169 = 153 + c^2\] Теперь найдем \(c^2\): \[c^2 = 169 - 153\] \[c^2 = 16\] Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(c\): \[c = \sqrt{16}\] \[c = 4\] Таким образом, длина ребра \(AA_1\) равна 4. Ответ: 4.
2. В прямоугольном параллелепипеде известно, что \(BB_1 = 3\), \(A_1B_1 = 22\), \(AD = 6\). Найдите длину диагонали \(AC_1\). Решение: Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \(a\), \(b\) и \(c\). В данном случае: \(BB_1\) - это длина ребра, обозначим её как \(c\). Значит, \(c = 3\). \(A_1B_1\) - это длина ребра, обозначим её как \(a\). Значит, \(a = 22\). \(AD\) - это длина ребра, обозначим её как \(b\). Значит, \(b = 6\). Нам нужно найти длину диагонали \(AC_1\). Формула для диагонали прямоугольного параллелепипеда: \[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\] Подставим известные значения в формулу: \[AC_1^2 = 22^2 + 6^2 + 3^2\] \[AC_1^2 = 484 + 36 + 9\] \[AC_1^2 = 520 + 9\] \[AC_1^2 = 529\] Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(AC_1\): \[AC_1 = \sqrt{529}\] \[AC_1 = 23\] Таким образом, длина диагонали \(AC_1\) равна 23. Ответ: 23.
3. Диагональ куба равна \(\sqrt{27}\). Найдите его объем. Решение: Пусть длина ребра куба равна \(a\). Формула для диагонали куба: \[d = a\sqrt{3}\] Нам известно, что диагональ куба \(d = \sqrt{27}\). Подставим это значение в формулу: \[\sqrt{27} = a\sqrt{3}\] Чтобы найти \(a\), разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\): \[a = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}\] \[a = \sqrt{\frac{27}{3}}\] \[a = \sqrt{9}\] \[a = 3\] Таким образом, длина ребра куба равна 3. Формула для объема куба: \[V = a^3\] Подставим значение \(a\): \[V = 3^3\] \[V = 3 \cdot 3 \cdot 3\] \[V = 27\] Таким образом, объем куба равен 27. Ответ: 27.
4. Диагональ куба равна 37. Найдите площадь его поверхности. Решение: Пусть длина ребра куба равна \(a\). Формула для диагонали куба: \[d = a\sqrt{3}\] Нам известно, что диагональ куба \(d = 37\). Подставим это значение в формулу: \[37 = a\sqrt{3}\] Чтобы найти \(a\), разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\): \[a = \frac{37}{\sqrt{3}}\] Теперь найдем площадь поверхности куба. Формула для площади поверхности куба: \[S = 6a^2\] Подставим значение \(a\): \[S = 6 \left(\frac{37}{\sqrt{3}}\right)^2\] \[S = 6 \cdot \frac{37^2}{(\sqrt{3})^2}\] \[S = 6 \cdot \frac{1369}{3}\] Сократим 6 и 3: \[S = 2 \cdot 1369\] \[S = 2738\] Таким образом, площадь поверхности куба равна 2738. Ответ: 2738.
5. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3 и 8. Найдите его площадь поверхности. Решение: Ребра, выходящие из одной вершины, это и есть измерения прямоугольного параллелепипеда. Пусть \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 8\). Формула для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда: \[S = 2(ab + bc + ac)\] Подставим известные значения в формулу: \[S = 2(2 \cdot 3 + 3 \cdot 8 + 2 \cdot 8)\] \[S = 2(6 + 24 + 16)\] \[S = 2(30 + 16)\] \[S = 2(46)\] \[S = 92\] Таким образом, площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 92. Ответ: 92.