Разложение функции f(x) = 1/(x^2 - 4x + 3) в ряд Маклорена

Для решения задачи а) воспользуемся методом разложения функции в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора при \(x_0 = 0\)), используя метод разложения на элементарные дроби. Задача 5.2 (а). Разложить функцию \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 4x + 3}\) в ряд Тейлора в окрестности точки \(x_0 = 0\). Решение: 1. Разложим знаменатель на множители: \[x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)\] 2. Представим функцию в виде суммы элементарных дробей: \[\frac{1}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3}\] Приведем к общему знаменателю: \[1 = A(x - 3) + B(x - 1)\] При \(x = 1\): \(1 = A(1 - 3) \Rightarrow A = -1/2\) При \(x = 3\): \(1 = B(3 - 1) \Rightarrow B = 1/2\) Получаем: \[f(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 3}\] 3. Приведем дроби к виду \(\frac{1}{1 - t}\), чтобы использовать стандартное разложение в ряд геометрической прогрессии: \[\frac{1}{1 - t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n = 1 + t + t^2 + ... + t^n + ...\] Для первой дроби: \[-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} x^n\] Для второй дроби: \[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 - x} = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}} = -\frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{x}{3}\right)^n\] 4. Запишем общее разложение: \[f(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} x^n - \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6 \cdot 3^n} \right) x^n\] \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3 \cdot 3^n - 1}{6 \cdot 3^n} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n+1} - 1}{2 \cdot 3^{n+1}} x^n\] Область сходимости определяется меньшим радиусом: \(|x| < 1\). --- Задача 5.2 (б). Разложить функцию \(f(z) = \frac{1}{z^2 - 4z + 3}\) в ряд Лорана в окрестности точки \(z_0 = 3\). Решение: 1. Сделаем замену переменной \(t = z - 3\), тогда \(z = t + 3\). При \(z \to 3\) имеем \(t \to 0\). 2. Подставим замену в разложение на дроби из предыдущего пункта: \[f(z) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{z - 3} - \frac{1}{z - 1} \right)\] \[f(t+3) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{(t + 3) - 1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 2} \right)\] 3. Разложим вторую дробь в ряд по степеням \(t\): \[\frac{1}{t + 2} = \frac{1}{2(1 + \frac{t}{2})} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{t}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} t^n\] 4. Запишем итоговый ряд Лорана, возвращаясь к \(z - 3\): \[f(z) = \frac{1}{2(z - 3)} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}} (z - 3)^n\] \[f(z) = \frac{1}{2(z - 3)} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+2}} (z - 3)^n\] Это разложение справедливо в проколотой окрестности \(0 < |z - 3| < 2\).