Вариант 1
1. Периметр квадрата равен 40. Найти площадь квадрата.
Решение:
Пусть сторона квадрата равна \(a\).
Периметр квадрата \(P\) равен \(4a\).
По условию, \(P = 40\).
Значит, \(4a = 40\).
Отсюда, \(a = 40 / 4 = 10\).
Площадь квадрата \(S\) равна \(a^2\).
Значит, \(S = 10^2 = 100\).
Ответ: Площадь квадрата равна 100.
Чертеж:
На чертеже изображен квадрат со стороной \(a = 10\).
2. Сторона параллелограмма 21 см, а высота, проведенная к ней, 15 см. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Пусть сторона параллелограмма \(a = 21\) см.
Высота, проведенная к этой стороне, \(h = 15\) см.
Площадь параллелограмма \(S\) вычисляется по формуле: \(S = a \cdot h\).
Подставляем значения: \(S = 21 \cdot 15\).
\(S = 315\).
Ответ: Площадь параллелограмма равна 315 см\(^2\).
Чертеж:
На чертеже изображен параллелограмм со стороной \(a = 21\) см и высотой \(h = 15\) см, проведенной к этой стороне.
3. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в 2 раза больше. Найдите площадь треугольника.
Решение:
Пусть сторона треугольника \(a = 5\) см.
Высота, проведенная к этой стороне, \(h\) в 2 раза больше стороны, то есть \(h = 2 \cdot a\).
\(h = 2 \cdot 5 = 10\) см.
Площадь треугольника \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\).
Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\).
\(S = \frac{1}{2} \cdot 50\).
\(S = 25\).
Ответ: Площадь треугольника равна 25 см\(^2\).
Чертеж:
На чертеже изображен треугольник со стороной \(a = 5\) см и высотой \(h = 10\) см, проведенной к этой стороне.
4. В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме оснований. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть основания трапеции \(a = 6\) см и \(b = 10\) см.
Высота трапеции \(h\) равна полусумме оснований, то есть \(h = \frac{a + b}{2}\).
\(h = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.
Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\).
Подставляем значения: \(S = \frac{6 + 10}{2} \cdot 8\).
\(S = \frac{16}{2} \cdot 8\).
\(S = 8 \cdot 8\).
\(S = 64\).
Ответ: Площадь трапеции равна 64 см\(^2\).
Чертеж:
На чертеже изображена трапеция с основаниями \(a = 6\) см, \(b = 10\) см и высотой \(h = 8\) см.
5. Найти площадь ромба с диагоналями 18 см и 12 см.
Решение:
Пусть диагонали ромба \(d_1 = 18\) см и \(d_2 = 12\) см.
Площадь ромба \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\).
Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12\).
\(S = 9 \cdot 12\).
\(S = 108\).
Ответ: Площадь ромба равна 108 см\(^2\).
Чертеж:
На чертеже изображен ромб с диагоналями \(d_1 = 18\) см и \(d_2 = 12\) см.
6. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 2 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.
Решение:
Пусть стороны треугольника \(a_1 = 6\) см и \(a_2 = 9\) см.
Большая сторона \(a_2 = 9\) см.
Высота, проведенная к большей стороне, \(h_2 = 2\) см.
Площадь треугольника \(S\) можно найти по формуле: \(S = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot h_2\).
\(S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9\) см\(^2\).
Теперь найдем высоту \(h_1\), проведенную к меньшей стороне \(a_1 = 6\) см.
Используем ту же формулу для площади: \(S = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1\).
Подставляем известные значения: \(9 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h_1\).
\(9 = 3 \cdot h_1\).
\(h_1 = 9 / 3\).
\(h_1 = 3\).
Ответ: Высота, проведенная к меньшей стороне, равна 3 см.
Чертеж:
На чертеже изображен треугольник со сторонами \(a_1 = 6\) см, \(a_2 = 9\) см. Высота \(h_2 = 2\) см проведена к стороне \(a_2\), а высота \(h_1 = 3\) см проведена к стороне \(a_1\).
7. Тупой угол прямоугольной трапеции равен 135\(^\circ\), а основания равны 7 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть основания прямоугольной трапеции \(a = 12\) см (большее основание) и \(b = 7\) см (меньшее основание).
Тупой угол трапеции равен 135\(^\circ\).
В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой.
Острый угол при той же боковой стороне равен \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).
Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Эта высота будет равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям.
Обозначим высоту как \(h\).
Отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен \(a - b = 12 - 7 = 5\) см.
Образуется прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(5\) см, и углом \(45^\circ\).
В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\) катеты равны. Значит, \(h = 5\) см.
Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле: \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\).
Подставляем значения: \(S = \frac{12 + 7}{2} \cdot 5\).
\(S = \frac{19}{2} \cdot 5\).
\(S = 9.5 \cdot 5\).
\(S = 47.5\).
Ответ: Площадь трапеции равна 47.5 см\(^2\).
Чертеж:
На чертеже изображена прямоугольная трапеция с основаниями \(b = 7\) см и \(a = 12\) см. Тупой угол равен \(135^\circ\). Высота \(h = 5\) см.