Решение задачи: Расчет стального вала на прочность и жесткость (эпюра)

Задача по технической механике: Расчет стального вала на прочность и жесткость. Дано: \( P_1 = 2,2 \) кВт \( = 2200 \) Вт \( P_2 = 2,7 \) кВт \( = 2700 \) Вт \( P_3 = 3,2 \) кВт \( = 3200 \) Вт \( \omega = 25 \) рад/с \( [\tau_k] = 30 \) МПа \( = 30 \cdot 10^6 \) Па \( [\phi_0] = 0,02 \) рад/м \( G = 8 \cdot 10^4 \) МПа \( = 8 \cdot 10^{10} \) Па Решение: 1. Определение вращающих моментов. Вращающий момент связан с мощностью и угловой скоростью формулой \( M = \frac{P}{\omega} \). Вычислим моменты для каждого шкива: \[ M_1 = \frac{P_1}{\omega} = \frac{2200}{25} = 88 \text{ Нм} \] \[ M_2 = \frac{P_2}{\omega} = \frac{2700}{25} = 108 \text{ Нм} \] \[ M_3 = \frac{P_3}{\omega} = \frac{3200}{25} = 128 \text{ Нм} \] Уравновешивающий момент \( M_0 \) (согласно схеме он направлен в противоположную сторону): \[ M_0 = M_1 + M_2 + M_3 = 88 + 108 + 128 = 324 \text{ Нм} \] 2. Построение эпюры крутящих моментов \( M_z \). Используем метод сечений, двигаясь слева направо. Примем правило знаков: если момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки (при взгляде со стороны сечения), то он положителен. Участок 1 (между \( M_3 \) и \( M_2 \)): \[ M_{z1} = -M_3 = -128 \text{ Нм} \] Участок 2 (между \( M_2 \) и \( M_1 \)): \[ M_{z2} = -M_3 - M_2 = -128 - 108 = -236 \text{ Нм} \] Участок 3 (между \( M_1 \) и \( M_0 \ )): \[ M_{z3} = -M_3 - M_2 - M_1 = -128 - 108 - 88 = -324 \text{ Нм} \] Максимальный крутящий момент по модулю: \( |M_{z,max}| = 324 \text{ Нм} \). Для тетради: начертите горизонтальную ось вала. Под ней отложите вниз прямоугольники: на первом участке высоту 128, на втором 236, на третьем 324. Внутри поставьте знак минус. 3. Определение диаметра вала. а) Из условия прочности: \[ \tau_{max} = \frac{M_{z,max}}{W_p} \le [\tau_k] \] Для круглого сечения \( W_p = 0,2 \cdot d^3 \). \[ d \ge \sqrt[3]{\frac{M_{z,max}}{0,2 \cdot [\tau_k]}} = \sqrt[3]{\frac{324}{0,2 \cdot 30 \cdot 10^6}} \approx 0,0378 \text{ м} = 37,8 \text{ мм} \] б) Из условия жесткости: \[ \phi_0 = \frac{M_{z,max}}{G \cdot I_p} \le [\phi_0] \] Для круглого сечения \( I_p = 0,1 \cdot d^4 \). \[ d \ge \sqrt[4]{\frac{M_{z,max}}{0,1 \cdot G \cdot [\phi_0]}} = \sqrt[4]{\frac{324}{0,1 \cdot 8 \cdot 10^{10} \cdot 0,02}} \approx 0,0377 \text{ м} = 37,7 \text{ мм} \] Принимаем большее из полученных значений и округляем до ближайшего стандартного значения из ряда Ra40. Ответ: \( d = 38 \text{ мм} \).