Решение системы уравнений методом Гаусса

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 5 \\ 2x - y - z = 1 \\ x + 3y + 4z = 6 \end{cases} \] 1. Составим расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 2 & -1 & -1 & | & 1 \\ 1 & 3 & 4 & | & 6 \end{pmatrix} \] 2. Приведем матрицу к ступенчатому виду. Шаг 1: Исключим \(x\) из второго и третьего уравнений. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2 (\(R_2 - 2R_1\)), а из третьей строки вычтем первую (\(R_3 - R_1\)): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & -5 & -7 & | & -9 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \end{pmatrix} \] Шаг 2: Для удобства вычислений поменяем вторую и третью строки местами (\(R_2 \leftrightarrow R_3\)): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & -5 & -7 & | & -9 \end{pmatrix} \] Шаг 3: Исключим \(y\) из третьей строки. Прибавим ко второй строке, умноженной на 5, третью строку (\(R_3 + 5R_2\)): \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & -2 & | & -4 \end{pmatrix} \] 3. Теперь запишем полученную систему и найдем значения переменных (обратный ход): \[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 5 \\ y + z = 1 \\ -2z = -4 \end{cases} \] Из третьего уравнения находим \(z\): \[ -2z = -4 \implies z = \frac{-4}{-2} \implies z = 2 \] Подставим \(z = 2\) во второе уравнение, чтобы найти \(y\): \[ y + 2 = 1 \implies y = 1 - 2 \implies y = -1 \] Подставим \(y = -1\) и \(z = 2\) в первое уравнение, чтобы найти \(x\): \[ x + 2(-1) + 3(2) = 5 \] \[ x - 2 + 6 = 5 \] \[ x + 4 = 5 \implies x = 5 - 4 \implies x = 1 \] Ответ: \(x = 1, y = -1, z = 2\).