Решение транспортной задачи: математическая модель

Задание 9. Составление математической модели транспортной задачи. Условие задачи: Имеется 3 поставщика (филиала) и 4 потребителя. Запасы поставщиков: \( a_1 = 50 \), \( a_2 = 30 \), \( a_3 = 10 \). Потребности потребителей: \( b_1 = 30 \), \( b_2 = 30 \), \( b_3 = 10 \), \( b_4 = 20 \). Матрица тарифов \( C \): \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 4 \end{pmatrix} \] Математическая модель: 1. Проверка типа задачи (баланс): Суммарные запасы: \[ \sum_{i=1}^{3} a_i = 50 + 30 + 10 = 90 \] Суммарные потребности: \[ \sum_{j=1}^{4} b_j = 30 + 30 + 10 + 20 = 90 \] Так как \( \sum a_i = \sum b_j \), задача является закрытой (сбалансированной). 2. Переменные: Пусть \( x_{ij} \) — количество продукции, перевозимой от \( i \)-го поставщика к \( j \)-му потребителю, где \( i = 1, 2, 3 \), а \( j = 1, 2, 3, 4 \). 3. Целевая функция (минимизация общих затрат на перевозку): \[ L(x) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{4} c_{ij} x_{ij} \to \min \] В развернутом виде: \[ L(x) = 1x_{11} + 2x_{12} + 4x_{13} + 1x_{14} + 2x_{21} + 3x_{22} + 1x_{23} + 5x_{24} + 3x_{31} + 2x_{32} + 4x_{33} + 4x_{34} \to \min \] 4. Система ограничений: По запасам поставщиков: \[ \begin{cases} x_{11} + x_{12} + x_{13} + x_{14} = 50 \\ x_{21} + x_{22} + x_{23} + x_{24} = 30 \\ x_{31} + x_{32} + x_{33} + x_{34} = 10 \end{cases} \] По потребностям потребителей: \[ \begin{cases} x_{11} + x_{21} + x_{31} = 30 \\ x_{12} + x_{22} + x_{32} = 30 \\ x_{13} + x_{23} + x_{33} = 10 \\ x_{14} + x_{24} + x_{34} = 20 \end{cases} \] Условие неотрицательности переменных: \[ x_{ij} \ge 0 \text{ для всех } i, j \]