Хорошо, это большой объем работы, но я выполню все задачи из всех вариантов. Я буду оформлять каждую задачу отдельно, чтобы вам было удобно переписывать.
Начнем с Варианта 1.
***
Вариант 1
Задача 1
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AB = 8\)
Угол \(\angle A = 30^\circ\)
Угол \(\angle B = 45^\circ\)
Найти:
Сторону \(BC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle C\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\]
\[\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ\]
\[\angle C = 180^\circ - 75^\circ\]
\[\angle C = 105^\circ\]
2. Применим теорему синусов. Теорема синусов гласит:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и противолежащий ей угол \(\angle C\). Нам нужно найти сторону \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle A\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 105^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 30^\circ = 0.5\)
\(\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ\)
\(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
5. Выразим \(BC\):
\[BC = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}\]
\[BC = \frac{8 \cdot 0.5}{0.9659}\]
\[BC = \frac{4}{0.9659}\]
\[BC \approx 4.14\]
Ответ:
Сторона \(BC \approx 4.14\).
***
Задача 2
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(BC = 12\)
Угол \(\angle B = 60^\circ\)
Угол \(\angle C = 75^\circ\)
Найти:
Сторону \(AB\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 75^\circ\]
\[\angle A = 180^\circ - 135^\circ\]
\[\angle A = 45^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и противолежащий ей угол \(\angle A\). Нам нужно найти сторону \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle C\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{12}{\sin 45^\circ} = \frac{AB}{\sin 75^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\)
\(\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ\)
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\)
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
5. Выразим \(AB\):
\[AB = \frac{12 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}\]
\[AB = \frac{12 \cdot 0.9659}{0.7071}\]
\[AB = \frac{11.5908}{0.7071}\]
\[AB \approx 16.39\]
Ответ:
Сторона \(AB \approx 16.39\).
***
Задача 3
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AC = 10\)
Угол \(\angle A = 45^\circ\)
Угол \(\angle C = 60^\circ\)
Найти:
Площадь треугольника
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle B\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\]
\[\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ\]
\[\angle B = 180^\circ - 105^\circ\]
\[\angle B = 75^\circ\]
2. Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:
\[S = \frac{1}{2} ab \sin C\]
или
\[S = \frac{1}{2} bc \sin A\]
или
\[S = \frac{1}{2} ac \sin B\]
У нас известна сторона \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и углы \(\angle A\) и \(\angle C\). Чтобы использовать формулу, нам нужна еще одна сторона, например \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) или \(BC\) (обозначим ее как \(a\)).
Найдем сторону \(BC\) (сторона \(a\)) с помощью теоремы синусов:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\)
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
5. Выразим \(BC\):
\[BC = \frac{10 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}\]
\[BC = \frac{10 \cdot 0.7071}{0.9659}\]
\[BC = \frac{7.071}{0.9659}\]
\[BC \approx 7.32\]
6. Теперь, когда у нас есть две стороны \(AC = 10\) и \(BC \approx 7.32\) и угол между ними \(\angle C = 60^\circ\), мы можем найти площадь:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7.32 \cdot \sin 60^\circ\]
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7.32 \cdot 0.866\]
\[S = 5 \cdot 7.32 \cdot 0.866\]
\[S = 36.6 \cdot 0.866\]
\[S \approx 31.79\]
Ответ:
Площадь треугольника \(\approx 31.79\).
***
Задача 4
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(a = 8\) (это \(BC\))
Сторона \(b = 10\) (это \(AC\))
Угол \(\angle A = 30^\circ\)
Найти:
Угол \(\angle B\)
Решение:
1. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известны стороны \(a\) и \(b\), а также угол \(\angle A\). Нам нужно найти угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
2. Подставим известные значения:
\[\frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin B}\]
3. Найдем значение \(\sin 30^\circ\):
\(\sin 30^\circ = 0.5\)
4. Подставим и выразим \(\sin B\):
\[\frac{8}{0.5} = \frac{10}{\sin B}\]
\[16 = \frac{10}{\sin B}\]
\[\sin B = \frac{10}{16}\]
\[\sin B = \frac{5}{8}\]
\[\sin B = 0.625\]
5. Найдем угол \(\angle B\), используя арксинус:
\[\angle B = \arcsin(0.625)\]
\[\angle B \approx 38.68^\circ\]
Важно отметить, что существует два угла в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), синус которых равен \(0.625\). Второй угол будет \(180^\circ - 38.68^\circ = 141.32^\circ\).
Если \(\angle B = 141.32^\circ\), то сумма углов \(\angle A + \angle B = 30^\circ + 141.32^\circ = 171.32^\circ\), что меньше \(180^\circ\), поэтому такой треугольник возможен.
Однако, обычно в таких задачах подразумевается острый угол, если нет дополнительных условий. Если бы \(a > b\), то \(\angle A\) был бы больше \(\angle B\), и \(\angle B\) был бы острым. Здесь \(a < b\), поэтому \(\angle A < \angle B\).
Если \(\angle B\) острый, то \(\angle B \approx 38.68^\circ\).
Если \(\angle B\) тупой, то \(\angle B \approx 141.32^\circ\).
Без дополнительной информации, обычно выбирают острый угол.
Ответ:
Угол \(\angle B \approx 38.68^\circ\) (или \(\approx 141.32^\circ\)).
***
Продолжаем с Вариантом 2.
***
Вариант 2
Задача 1
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AC = 6\)
Угол \(\angle A = 45^\circ\)
Угол \(\angle C = 60^\circ\)
Найти:
Сторону \(BC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle B\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\]
\[\angle B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ\]
\[\angle B = 180^\circ - 105^\circ\]
\[\angle B = 75^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известна сторона \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и противолежащий ей угол \(\angle B\). Нам нужно найти сторону \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle A\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 75^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\)
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
5. Выразим \(BC\):
\[BC = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}\]
\[BC = \frac{6 \cdot 0.7071}{0.9659}\]
\[BC = \frac{4.2426}{0.9659}\]
\[BC \approx 4.39\]
Ответ:
Сторона \(BC \approx 4.39\).
***
Задача 2
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AB = 10\)
Угол \(\angle B = 75^\circ\)
Угол \(\angle C = 45^\circ\)
Найти:
Сторону \(AC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ\]
\[\angle A = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle A = 60^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и противолежащий ей угол \(\angle C\). Нам нужно найти сторону \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\)
5. Выразим \(AC\):
\[AC = \frac{10 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}\]
\[AC = \frac{10 \cdot 0.9659}{0.7071}\]
\[AC = \frac{9.659}{0.7071}\]
\[AC \approx 13.66\]
Ответ:
Сторона \(AC \approx 13.66\).
***
Задача 3
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(BC = 15\)
Угол \(\angle B = 30^\circ\)
Угол \(\angle C = 105^\circ\)
Найти:
Площадь треугольника
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ\]
\[\angle A = 180^\circ - 135^\circ\]
\[\angle A = 45^\circ\]
2. Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:
\[S = \frac{1}{2} ab \sin C\]
У нас известна сторона \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и углы \(\angle B\) и \(\angle C\). Чтобы использовать формулу, нам нужна еще одна сторона, например \(AC\) (обозначим ее как \(b\)).
Найдем сторону \(AC\) (сторона \(b\)) с помощью теоремы синусов:
\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{15}{\sin 45^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 30^\circ = 0.5\)
\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\)
5. Выразим \(AC\):
\[AC = \frac{15 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}\]
\[AC = \frac{15 \cdot 0.5}{0.7071}\]
\[AC = \frac{7.5}{0.7071}\]
\[AC \approx 10.61\]
6. Теперь, когда у нас есть две стороны \(BC = 15\) и \(AC \approx 10.61\) и угол между ними \(\angle C = 105^\circ\), мы можем найти площадь:
\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin C\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10.61 \cdot \sin 105^\circ\]
\(\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
\[S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10.61 \cdot 0.9659\]
\[S = 7.5 \cdot 10.61 \cdot 0.9659\]
\[S = 79.575 \cdot 0.9659\]
\[S \approx 76.85\]
Ответ:
Площадь треугольника \(\approx 76.85\).
***
Задача 4
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(a = 12\) (это \(BC\))
Сторона \(b = 8\) (это \(AC\))
Угол \(\angle A = 60^\circ\)
Найти:
Угол \(\angle B\)
Решение:
1. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известны стороны \(a\) и \(b\), а также угол \(\angle A\). Нам нужно найти угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
2. Подставим известные значения:
\[\frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin B}\]
3. Найдем значение \(\sin 60^\circ\):
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
4. Подставим и выразим \(\sin B\):
\[\frac{12}{0.866} = \frac{8}{\sin B}\]
\[13.856 \approx \frac{8}{\sin B}\]
\[\sin B = \frac{8}{13.856}\]
\[\sin B \approx 0.5774\]
5. Найдем угол \(\angle B\), используя арксинус:
\[\angle B = \arcsin(0.5774)\]
\[\angle B \approx 35.26^\circ\]
Проверим второй возможный угол: \(180^\circ - 35.26^\circ = 144.74^\circ\).
Если \(\angle B = 144.74^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 60^\circ + 144.74^\circ = 204.74^\circ\), что больше \(180^\circ\). Значит, такой треугольник невозможен.
Поэтому, угол \(\angle B\) должен быть острым.
Ответ:
Угол \(\angle B \approx 35.26^\circ\).
***
Продолжаем с Вариантом 3.
***
Вариант 3
Задача 1
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(BC = 9\)
Угол \(\angle B = 50^\circ\)
Угол \(\angle C = 70^\circ\)
Найти:
Сторону \(AB\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ\]
\[\angle A = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle A = 60^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и противолежащий ей угол \(\angle A\). Нам нужно найти сторону \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle C\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{9}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 70^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(\sin 70^\circ \approx 0.9397\)
5. Выразим \(AB\):
\[AB = \frac{9 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 60^\circ}\]
\[AB = \frac{9 \cdot 0.9397}{0.866}\]
\[AB = \frac{8.4573}{0.866}\]
\[AB \approx 9.77\]
Ответ:
Сторона \(AB \approx 9.77\).
***
Задача 2
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AC = 14\)
Угол \(\angle A = 40^\circ\)
Угол \(\angle B = 80^\circ\)
Найти:
Сторону \(BC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle C\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\]
\[\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ\]
\[\angle C = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle C = 60^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известна сторона \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и противолежащий ей угол \(\angle B\). Нам нужно найти сторону \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle A\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin 40^\circ} = \frac{14}{\sin 80^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 40^\circ \approx 0.6428\)
\(\sin 80^\circ \approx 0.9848\)
5. Выразим \(BC\):
\[BC = \frac{14 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\]
\[BC = \frac{14 \cdot 0.6428}{0.9848}\]
\[BC = \frac{8.9992}{0.9848}\]
\[BC \approx 9.14\]
Ответ:
Сторона \(BC \approx 9.14\).
***
Задача 3
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AB = 18\)
Угол \(\angle A = 35^\circ\)
Угол \(\angle B = 65^\circ\)
Найти:
Площадь треугольника
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle C\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\]
\[\angle C = 180^\circ - 35^\circ - 65^\circ\]
\[\angle C = 180^\circ - 100^\circ\]
\[\angle C = 80^\circ\]
2. Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:
\[S = \frac{1}{2} ab \sin C\]
У нас известна сторона \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и углы \(\angle A\) и \(\angle B\). Чтобы использовать формулу, нам нужна еще одна сторона, например \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) или \(BC\) (обозначим ее как \(a\)).
Найдем сторону \(AC\) (сторона \(b\)) с помощью теоремы синусов:
\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{\sin 65^\circ} = \frac{18}{\sin 80^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 65^\circ \approx 0.9063\)
\(\sin 80^\circ \approx 0.9848\)
5. Выразим \(AC\):
\[AC = \frac{18 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 80^\circ}\]
\[AC = \frac{18 \cdot 0.9063}{0.9848}\]
\[AC = \frac{16.3134}{0.9848}\]
\[AC \approx 16.56\]
6. Теперь, когда у нас есть две стороны \(AB = 18\) и \(AC \approx 16.56\) и угол между ними \(\angle A = 35^\circ\), мы можем найти площадь:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 16.56 \cdot \sin 35^\circ\]
\(\sin 35^\circ \approx 0.5736\)
\[S = 9 \cdot 16.56 \cdot 0.5736\]
\[S = 149.04 \cdot 0.5736\]
\[S \approx 85.49\]
Ответ:
Площадь треугольника \(\approx 85.49\).
***
Задача 4
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(a = 7\) (это \(BC\))
Сторона \(b = 9\) (это \(AC\))
Угол \(\angle A = 40^\circ\)
Найти:
Угол \(\angle B\)
Решение:
1. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известны стороны \(a\) и \(b\), а также угол \(\angle A\). Нам нужно найти угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
2. Подставим известные значения:
\[\frac{7}{\sin 40^\circ} = \frac{9}{\sin B}\]
3. Найдем значение \(\sin 40^\circ\):
\(\sin 40^\circ \approx 0.6428\)
4. Подставим и выразим \(\sin B\):
\[\frac{7}{0.6428} = \frac{9}{\sin B}\]
\[10.8898 \approx \frac{9}{\sin B}\]
\[\sin B = \frac{9}{10.8898}\]
\[\sin B \approx 0.8264\]
5. Найдем угол \(\angle B\), используя арксинус:
\[\angle B = \arcsin(0.8264)\]
\[\angle B \approx 55.73^\circ\]
Проверим второй возможный угол: \(180^\circ - 55.73^\circ = 124.27^\circ\).
Если \(\angle B = 124.27^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 40^\circ + 124.27^\circ = 164.27^\circ\), что меньше \(180^\circ\). Значит, такой треугольник возможен.
В данном случае, поскольку \(a < b\), то \(\angle A < \angle B\). Оба угла \(55.73^\circ\) и \(124.27^\circ\) больше \(40^\circ\).
Без дополнительной информации, обычно выбирают острый угол, если нет указаний на тупоугольный треугольник.
Ответ:
Угол \(\angle B \approx 55.73^\circ\) (или \(\approx 124.27^\circ\)).
***
Продолжаем с Вариантом 4.
***
Вариант 4
Задача 1
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AB = 11\)
Угол \(\angle A = 55^\circ\)
Угол \(\angle B = 65^\circ\)
Найти:
Сторону \(AC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle C\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\]
\[\angle C = 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ\]
\[\angle C = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle C = 60^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и противолежащий ей угол \(\angle C\). Нам нужно найти сторону \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{\sin 65^\circ} = \frac{11}{\sin 60^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 65^\circ \approx 0.9063\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
5. Выразим \(AC\):
\[AC = \frac{11 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ}\]
\[AC = \frac{11 \cdot 0.9063}{0.866}\]
\[AC = \frac{9.9693}{0.866}\]
\[AC \approx 11.51\]
Ответ:
Сторона \(AC \approx 11.51\).
***
Задача 2
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(BC = 16\)
Угол \(\angle B = 70^\circ\)
Угол \(\angle C = 50^\circ\)
Найти:
Сторону \(AB\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ\]
\[\angle A = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle A = 60^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и противолежащий ей угол \(\angle A\). Нам нужно найти сторону \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle C\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{16}{\sin 60^\circ} = \frac{AB}{\sin 50^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(\sin 50^\circ \approx 0.766\)
5. Выразим \(AB\):
\[AB = \frac{16 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}\]
\[AB = \frac{16 \cdot 0.766}{0.866}\]
\[AB = \frac{12.256}{0.866}\]
\[AB \approx 14.15\]
Ответ:
Сторона \(AB \approx 14.15\).
***
Задача 3
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AC = 20\)
Угол \(\angle A = 25^\circ\)
Угол \(\angle C = 85^\circ\)
Найти:
Площадь треугольника
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle B\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\]
\[\angle B = 180^\circ - 25^\circ - 85^\circ\]
\[\angle B = 180^\circ - 110^\circ\]
\[\angle B = 70^\circ\]
2. Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:
\[S = \frac{1}{2} ab \sin C\]
У нас известна сторона \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и углы \(\angle A\) и \(\angle C\). Чтобы использовать формулу, нам нужна еще одна сторона, например \(BC\) (обозначим ее как \(a\)).
Найдем сторону \(BC\) (сторона \(a\)) с помощью теоремы синусов:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin 25^\circ} = \frac{20}{\sin 70^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 25^\circ \approx 0.4226\)
\(\sin 70^\circ \approx 0.9397\)
5. Выразим \(BC\):
\[BC = \frac{20 \cdot \sin 25^\circ}{\sin 70^\circ}\]
\[BC = \frac{20 \cdot 0.4226}{0.9397}\]
\[BC = \frac{8.452}{0.9397}\]
\[BC \approx 8.99\]
6. Теперь, когда у нас есть две стороны \(AC = 20\) и \(BC \approx 8.99\) и угол между ними \(\angle C = 85^\circ\), мы можем найти площадь:
\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 8.99 \cdot \sin 85^\circ\]
\(\sin 85^\circ \approx 0.9962\)
\[S = 10 \cdot 8.99 \cdot 0.9962\]
\[S = 89.9 \cdot 0.9962\]
\[S \approx 89.56\]
Ответ:
Площадь треугольника \(\approx 89.56\).
***
Задача 4
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(a = 10\) (это \(BC\))
Сторона \(b = 15\) (это \(AC\))
Угол \(\angle A = 35^\circ\)
Найти:
Угол \(\angle B\)
Решение:
1. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известны стороны \(a\) и \(b\), а также угол \(\angle A\). Нам нужно найти угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
2. Подставим известные значения:
\[\frac{10}{\sin 35^\circ} = \frac{15}{\sin B}\]
3. Найдем значение \(\sin 35^\circ\):
\(\sin 35^\circ \approx 0.5736\)
4. Подставим и выразим \(\sin B\):
\[\frac{10}{0.5736} = \frac{15}{\sin B}\]
\[17.4337 \approx \frac{15}{\sin B}\]
\[\sin B = \frac{15}{17.4337}\]
\[\sin B \approx 0.8604\]
5. Найдем угол \(\angle B\), используя арксинус:
\[\angle B = \arcsin(0.8604)\]
\[\angle B \approx 59.36^\circ\]
Проверим второй возможный угол: \(180^\circ - 59.36^\circ = 120.64^\circ\).
Если \(\angle B = 120.64^\circ\), то \(\angle A + \angle B = 35^\circ + 120.64^\circ = 155.64^\circ\), что меньше \(180^\circ\). Значит, такой треугольник возможен.
В данном случае, поскольку \(a < b\), то \(\angle A < \angle B\). Оба угла \(59.36^\circ\) и \(120.64^\circ\) больше \(35^\circ\).
Без дополнительной информации, обычно выбирают острый угол, если нет указаний на тупоугольный треугольник.
Ответ:
Угол \(\angle B \approx 59.36^\circ\) (или \(\approx 120.64^\circ\)).
***
Продолжаем с Вариантом 5.
***
Вариант 5
Задача 1
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AC = 13\)
Угол \(\angle A = 60^\circ\)
Угол \(\angle C = 45^\circ\)
Найти:
Сторону \(BC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle B\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\]
\[\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ\]
\[\angle B = 180^\circ - 105^\circ\]
\[\angle B = 75^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известна сторона \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и противолежащий ей угол \(\angle B\). Нам нужно найти сторону \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle A\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{BC}{\sin 60^\circ} = \frac{13}{\sin 75^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659\)
5. Выразим \(BC\):
\[BC = \frac{13 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}\]
\[BC = \frac{13 \cdot 0.866}{0.9659}\]
\[BC = \frac{11.258}{0.9659}\]
\[BC \approx 11.65\]
Ответ:
Сторона \(BC \approx 11.65\).
***
Задача 2
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(AB = 17\)
Угол \(\angle A = 70^\circ\)
Угол \(\angle B = 50^\circ\)
Найти:
Сторону \(AC\)
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle C\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B\]
\[\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ\]
\[\angle C = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle C = 60^\circ\]
2. Применим теорему синусов:
\[\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]
Нам известна сторона \(AB\) (обозначим ее как \(c\)) и противолежащий ей угол \(\angle C\). Нам нужно найти сторону \(AC\) (обозначим ее как \(b\)) и известен противолежащий ей угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{\sin 50^\circ} = \frac{17}{\sin 60^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 50^\circ \approx 0.766\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
5. Выразим \(AC\):
\[AC = \frac{17 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ}\]
\[AC = \frac{17 \cdot 0.766}{0.866}\]
\[AC = \frac{13.022}{0.866}\]
\[AC \approx 15.04\]
Ответ:
Сторона \(AC \approx 15.04\).
***
Задача 3
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(BC = 22\)
Угол \(\angle B = 40^\circ\)
Угол \(\angle C = 80^\circ\)
Найти:
Площадь треугольника
Решение:
1. Найдем третий угол треугольника \(\angle A\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
\[\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C\]
\[\angle A = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ\]
\[\angle A = 180^\circ - 120^\circ\]
\[\angle A = 60^\circ\]
2. Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:
\[S = \frac{1}{2} ab \sin C\]
У нас известна сторона \(BC\) (обозначим ее как \(a\)) и углы \(\angle B\) и \(\angle C\). Чтобы использовать формулу, нам нужна еще одна сторона, например \(AC\) (обозначим ее как \(b\)).
Найдем сторону \(AC\) (сторона \(b\)) с помощью теоремы синусов:
\[\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}\]
3. Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{22}{\sin 60^\circ}\]
4. Найдем значения синусов:
\(\sin 40^\circ \approx 0.6428\)
\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
5. Выразим \(AC\):
\[AC = \frac{22 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ}\]
\[AC = \frac{22 \cdot 0.6428}{0.866}\]
\[AC = \frac{14.1416}{0.866}\]
\[AC \approx 16.33\]
6. Теперь, когда у нас есть две стороны \(BC = 22\) и \(AC \approx 16.33\) и угол между ними \(\angle C = 80^\circ\), мы можем найти площадь:
\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin C\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 16.33 \cdot \sin 80^\circ\]
\(\sin 80^\circ \approx 0.9848\)
\[S = 11 \cdot 16.33 \cdot 0.9848\]
\[S = 179.63 \cdot 0.9848\]
\[S \approx 176.86\]
Ответ:
Площадь треугольника \(\approx 176.86\).
***
Задача 4
Дано:
Треугольник \(ABC\)
Сторона \(a = 9\) (это \(BC\))
Сторона \(b = 12\) (это \(AC\))
Угол \(\angle A = 50^\circ\)
Найти:
Угол \(\angle B\)
Решение:
1. Применим теорему синусов:
\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\]
Нам известны стороны \(a\) и \(b\), а также угол \(\angle A\). Нам нужно найти угол \(\angle B\).
Значит, мы можем записать:
\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}\]
2. Подставим известные значения:
\[\frac{9}{\sin 50^\circ} = \frac{12}{\sin B}\]
3. Найдем значение \(\sin 50^\circ\):
\(\sin 50^\circ \approx 0.766\)
4. Подставим и выразим \(\sin B\):
\[\frac{9}{0.766} = \frac{12}{\sin B}\]
\[11.7493 \approx \frac{12}{\sin B}\]
\[\sin B = \frac{12}{11.7493}\]
\[\sin B \approx 1.0213\]
Внимание! Значение синуса не может быть больше 1. Это означает, что треуго
