Найти уравнение окружности по диаметру AB: решение

Задача №3. Дано: \(A(-2; -1)\), \(B(6; 5)\) — концы диаметра окружности. Найти: уравнение окружности. Решение: 1. Общий вид уравнения окружности: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \] где \((x_0; y_0)\) — координаты центра окружности, а \(R\) — её радиус. 2. Центр окружности (точка \(C\)) является серединой диаметра \(AB\). Найдем координаты центра по формулам середины отрезка: \[ x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Таким образом, центр окружности имеет координаты \(C(2; 2)\). 3. Найдем квадрат радиуса \(R^2\). Радиус — это расстояние от центра \(C(2; 2)\) до любой из точек на окружности, например, до точки \(B(6; 5)\). Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ R^2 = (x_B - x_0)^2 + (y_B - y_0)^2 \] \[ R^2 = (6 - 2)^2 + (5 - 2)^2 \] \[ R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \] Следовательно, \(R = 5\). 4. Подставим найденные значения \(x_0 = 2\), \(y_0 = 2\) и \(R^2 = 25\) в общее уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 25 \] Ответ: \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 25\).