Решение задачи: Уравнение прямой через центр описанной окружности и вершину прямого угла

Задача №4. Дано: Треугольник \(KMN\) с вершинами \(K(3; 0)\), \(M(1; 0)\), \(N(3; 4)\). Найти: уравнение прямой, проходящей через центр описанной окружности и вершину прямого угла. Решение: 1. Определим вид треугольника \(KMN\). Найдем длины его сторон или проанализируем координаты. Заметим, что сторона \(KM\) лежит на оси \(Ox\) (так как \(y_K = y_M = 0\)), а сторона \(KN\) параллельна оси \(Oy\) (так как \(x_K = x_N = 3\)). Следовательно, стороны \(KM\) и \(KN\) перпендикулярны, и угол \(\angle K\) — прямой (\(90^\circ\)). Вершина прямого угла — точка \(K(3; 0)\). 2. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности (точка \(O\)) лежит на середине гипотенузы. Гипотенузой является сторона \(MN\), так как она лежит против прямого угла \(K\). Найдем координаты центра \(O(x_0; y_0)\) как середину отрезка \(MN\): \[ x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Центр описанной окружности — точка \(O(2; 2)\). 3. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки: \(K(3; 0)\) и \(O(2; 2)\). Используем формулу прямой, проходящей через две точки \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\): \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] Подставим координаты точек \(K\) и \(O\): \[ \frac{x - 3}{2 - 3} = \frac{y - 0}{2 - 0} \] \[ \frac{x - 3}{-1} = \frac{y}{2} \] 4. Преобразуем уравнение к общему виду: \[ 2(x - 3) = -1 \cdot y \] \[ 2x - 6 = -y \] \[ 2x + y - 6 = 0 \] Или в виде функции с угловым коэффициентом: \[ y = -2x + 6 \] Ответ: \(2x + y - 6 = 0\) (или \(y = -2x + 6\)).