Самостоятельная работа по электротехнике № 5
Тема: «Соединения резисторов»
№ 3. Разветвление из трех последовательно включенных резисторов сопротивлениями 2, 6 и 4 Ом включено параллельно с другим разветвлением, состоящим из четырех включенных резисторов сопротивлениями 1, 7, 5 и 2 Ом. Определите эквивалентное сопротивление цепи и нарисуйте ее электрическую схему.
Решение:
Для начала нарисуем электрическую схему цепи, как описано в задаче.
У нас есть два разветвления, включенные параллельно. Каждое разветвление состоит из последовательно соединенных резисторов.
Первое разветвление (верхняя ветвь):
Состоит из трех последовательно включенных резисторов: \(R_{11} = 2\) Ом, \(R_{12} = 6\) Ом, \(R_{13} = 4\) Ом.
Второе разветвление (нижняя ветвь):
Состоит из четырех последовательно включенных резисторов: \(R_{21} = 1\) Ом, \(R_{22} = 7\) Ом, \(R_{23} = 5\) Ом, \(R_{24} = 2\) Ом.
Электрическая схема:
Представим схему в виде текста, так как рисовать здесь невозможно. Представьте, что у вас есть две параллельные линии. На верхней линии последовательно соединены три резистора, на нижней – четыре.
``` +-----[ R11 ]-----[ R12 ]-----[ R13 ]----+ | | | | +-----[ R21 ]-----[ R22 ]-----[ R23 ]-----[ R24 ]----+ ```
Где:
- \(R_{11} = 2\) Ом
- \(R_{12} = 6\) Ом
- \(R_{13} = 4\) Ом
- \(R_{21} = 1\) Ом
- \(R_{22} = 7\) Ом
- \(R_{23} = 5\) Ом
- \(R_{24} = 2\) Ом
Теперь определим эквивалентное сопротивление цепи.
Шаг 1: Найдем эквивалентное сопротивление первого разветвления (верхней ветви).
При последовательном соединении резисторов их общее сопротивление равно сумме сопротивлений каждого резистора.
Обозначим эквивалентное сопротивление первой ветви как \(R_{в1}\).
\[R_{в1} = R_{11} + R_{12} + R_{13}\]
Подставим значения:
\[R_{в1} = 2 \text{ Ом} + 6 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом}\]
\[R_{в1} = 12 \text{ Ом}\]
Шаг 2: Найдем эквивалентное сопротивление второго разветвления (нижней ветви).
Аналогично, для последовательного соединения резисторов во второй ветви:
Обозначим эквивалентное сопротивление второй ветви как \(R_{в2}\).
\[R_{в2} = R_{21} + R_{22} + R_{23} + R_{24}\]
Подставим значения:
\[R_{в2} = 1 \text{ Ом} + 7 \text{ Ом} + 5 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}\]
\[R_{в2} = 15 \text{ Ом}\]
Шаг 3: Найдем общее эквивалентное сопротивление цепи.
Два разветвления (с сопротивлениями \(R_{в1}\) и \(R_{в2}\)) включены параллельно. При параллельном соединении резисторов их общее эквивалентное сопротивление \(R_{экв}\) определяется по формуле:
\[\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{R_{в1}} + \frac{1}{R_{в2}}\]
Подставим значения \(R_{в1} = 12\) Ом и \(R_{в2} = 15\) Ом:
\[\frac{1}{R_{экв}} = \frac{1}{12 \text{ Ом}} + \frac{1}{15 \text{ Ом}}\]
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 15 - это 60.
\[\frac{1}{R_{экв}} = \frac{5}{60 \text{ Ом}} + \frac{4}{60 \text{ Ом}}\]
\[\frac{1}{R_{экв}} = \frac{5 + 4}{60 \text{ Ом}}\]
\[\frac{1}{R_{экв}} = \frac{9}{60 \text{ Ом}}\]
Теперь найдем \(R_{экв}\), перевернув дробь:
\[R_{экв} = \frac{60}{9} \text{ Ом}\]
Сократим дробь на 3:
\[R_{экв} = \frac{20}{3} \text{ Ом}\]
Можно также представить в виде десятичной дроби:
\[R_{экв} \approx 6.67 \text{ Ом}\]
Ответ:
Эквивалентное сопротивление цепи составляет \(6.67\) Ом (или \(20/3\) Ом).
Электрическая схема:
``` +--------------------------------------------------+ | | | +-----[ R11=2 Ом ]-----[ R12=6 Ом ]-----[ R13=4 Ом ]----+ | | | | | | | | | +-----[ R21=1 Ом ]-----[ R22=7 Ом ]-----[ R23=5 Ом ]-----[ R24=2 Ом ]----+ | | +--------------------------------------------------+ ```
(На рисунке выше показаны две параллельные ветви. В верхней ветви последовательно соединены резисторы R11, R12, R13. В нижней ветви последовательно соединены резисторы R21, R22, R23, R24.)