Решение задач: 3, 4, 6, 7

Ниже представлены решения задач №3, №4, №6 и №7 из вашего списка в формате, удобном для переписывания в тетрадь. Задача №3 (Тип 15 № 311343) Дано: \( \triangle ABC \) — равносторонний. \( BK, AM \) — медианы. \( O \) — точка пересечения медиан. Найти: \( \angle AOK \). Решение: 1) В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами. 2) Так как \( BK \) — высота, то \( \angle BKA = 90^\circ \). 3) Так как \( AM \) — биссектриса, а углы равностороннего треугольника равны \( 60^\circ \), то: \[ \angle OAK = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \] 4) Рассмотрим прямоугольный \( \triangle AOK \). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \): \[ \angle AOK = 90^\circ - \angle OAK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Ответ: 60. Задача №4 (Тип 15 № 311680) Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC \). Внешний угол при вершине \( C \) равен \( 123^\circ \). Найти: \( \angle ABC \). Решение: 1) Найдем внутренний угол \( \angle ACB \) как смежный с внешним: \[ \angle ACB = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \] 2) Так как треугольник равнобедренный с основанием \( AC \), углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle ACB = 57^\circ \] 3) Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем угол при вершине \( B \): \[ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) \] \[ \angle ABC = 180^\circ - (57^\circ + 57^\circ) = 180^\circ - 114^\circ = 66^\circ \] Ответ: 66. Задача №6 (Тип 15 № 339364) Дано: \( \triangle ABC \), \( AC = BC \). Внешний угол при вершине \( B \) равен \( 146^\circ \). Найти: \( \angle C \). Решение: 1) Найдем внутренний угол \( \angle ABC \) (смежный с внешним): \[ \angle ABC = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ \] 2) Так как \( AC = BC \), то треугольник равнобедренный с основанием \( AB \). Углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle ABC = 34^\circ \] 3) Найдем угол \( \angle C \): \[ \angle C = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) \] \[ \angle C = 180^\circ - (34^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ \] Ответ: 112. Задача №7 (Тип 15 № 339375) Дано: \( \triangle ABC \), точка \( D \) на \( AB \). \( AD = AC \). \( \angle CAB = 80^\circ \), \( \angle ACB = 59^\circ \). Найти: \( \angle DCB \). Решение: 1) Рассмотрим \( \triangle ADC \). По условию \( AD = AC \), значит он равнобедренный с основанием \( DC \). 2) Углы при основании \( \triangle ADC \) равны: \[ \angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \angle CAD}{2} \] \[ \angle ACD = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ \] 3) Угол \( \angle ACB \) состоит из двух углов: \( \angle ACD \) и \( \angle DCB \). \[ \angle DCB = \angle ACB - \angle ACD \] \[ \angle DCB = 59^\circ - 50^\circ = 9^\circ \] Ответ: 9.