Решение задач 1, 2, 3 и 12 (Вариант 1)

Ниже представлено решение задач 1, 2, 3 и 12 из итогового тестирования (Вариант 1) в оформлении, удобном для переписывания в тетрадь. Задание 1. Упростите выражение: \[ 3\sqrt{xy} + 8\sqrt[8]{x} - \sqrt[4]{625x^2y^2} - 2\sqrt[8]{x^2} \] Решение: 1) Преобразуем корень \( \sqrt[4]{625x^2y^2} \). Так как \( 625 = 5^4 \), то: \[ \sqrt[4]{625x^2y^2} = \sqrt[4]{(5\sqrt{xy})^4} = 5\sqrt{xy} \] (при условии \( xy \ge 0 \)). 2) Преобразуем корень \( 2\sqrt[8]{x^2} \). По свойствам степеней: \[ 2\sqrt[8]{x^2} = 2x^{\frac{2}{8}} = 2x^{\frac{1}{4}} = 2\sqrt[4]{x} \] 3) Подставим в исходное выражение: \[ 3\sqrt{xy} + 8\sqrt[8]{x} - 5\sqrt{xy} - 2\sqrt[4]{x} \] 4) Приведем подобные слагаемые: \[ (3 - 5)\sqrt{xy} + 8\sqrt[8]{x} - 2\sqrt[4]{x} = -2\sqrt{xy} + 8\sqrt[8]{x} - 2\sqrt[4]{x} \] Ответ: \( -2\sqrt{xy} + 8\sqrt[8]{x} - 2\sqrt[4]{x} \) Задание 2. Найдите наибольшее целочисленное решение системы неравенств: \[ \begin{cases} 3(x^2 - 1) \ge 21 \\ 4(x + 11) < -2(x + 8) \end{cases} \] Решение: 1) Решим первое неравенство: \[ 3x^2 - 3 \ge 21 \] \[ 3x^2 \ge 24 \] \[ x^2 \ge 8 \] \[ x \in (-\infty; -\sqrt{8}] \cup [\sqrt{8}; +\infty) \] Так как \( \sqrt{8} \approx 2,82 \), то \( x \in (-\infty; -2,82] \cup [2,82; +\infty) \). 2) Решим второе неравенство: \[ 4x + 44 < -2x - 16 \] \[ 4x + 2x < -16 - 44 \] \[ 6x < -60 \] \[ x < -10 \] 3) Найдем пересечение решений: Система требует выполнения обоих условий: \( x < -10 \) и \( (x \le -\sqrt{8} \text{ или } x \ge \sqrt{8}) \). Пересечением является интервал \( x \in (-\infty; -10) \). 4) Наибольшее целое число из интервала \( (-\infty; -10) \) — это \( -11 \). Ответ: \( -11 \) Задание 3. Решите уравнение: \[ \log_{8}x + \log_{\sqrt{2}}x = 14 \] Решение: Приведем логарифмы к основанию 2. 1) \( \log_{8}x = \log_{2^3}x = \frac{1}{3}\log_{2}x \) 2) \( \log_{\sqrt{2}}x = \log_{2^{1/2}}x = 2\log_{2}x \) 3) Подставим в уравнение: \[ \frac{1}{3}\log_{2}x + 2\log_{2}x = 14 \] \[ (\frac{1}{3} + 2)\log_{2}x = 14 \] \[ \frac{7}{3}\log_{2}x = 14 \] 4) Найдем \( \log_{2}x \): \[ \log_{2}x = 14 \cdot \frac{3}{7} \] \[ \log_{2}x = 6 \] 5) По определению логарифма: \[ x = 2^6 \] \[ x = 64 \] Ответ: \( 64 \) Задание 12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке \( [-4; 2] \): \[ y = (x + 3)^2(x + 5) - 1 \] Решение: 1) Найдем производную функции: Воспользуемся правилом производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \): \[ y' = ((x+3)^2)'(x+5) + (x+3)^2(x+5)' \] \[ y' = 2(x+3)(x+5) + (x+3)^2 \cdot 1 \] Вынесем \( (x+3) \) за скобки: \[ y' = (x+3)(2x + 10 + x + 3) = (x+3)(3x + 13) \] 2) Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ (x+3)(3x + 13) = 0 \] \[ x_1 = -3, \quad x_2 = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \] 3) Проверим, какие точки лежат на отрезке \( [-4; 2] \): \( x_1 = -3 \) — принадлежит отрезку. \( x_2 = -4\frac{1}{3} \) — не принадлежит отрезку. 4) Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: \( y(-3) = (-3 + 3)^2(-3 + 5) - 1 = 0 \cdot 2 - 1 = -1 \) \( y(-4) = (-4 + 3)^2(-4 + 5) - 1 = (-1)^2 \cdot 1 - 1 = 1 - 1 = 0 \) \( y(2) = (2 + 3)^2(2 + 5) - 1 = 5^2 \cdot 7 - 1 = 25 \cdot 7 - 1 = 175 - 1 = 174 \) 5) Сравним полученные значения: \( -1, 0, 174 \). Наименьшее значение равно \( -1 \). Ответ: \( -1 \)