Решение задач по физике: путь и энергия колебаний

Задача №1 Дано: \(A = 3 \text{ мм} = 0,003 \text{ м}\) \(\nu = 1 \text{ кГц} = 1000 \text{ Гц}\) \(t = 0,5 \text{ с}\) Найти: \(S\) — ?, \(\Delta \vec{r}\) — ? Решение: 1. За один период \(T\) точка проходит путь, равный четырем амплитудам: \(S_0 = 4A\). 2. Общее количество колебаний за время \(t\) равно: \[N = \nu \cdot t\] \[N = 1000 \cdot 0,5 = 500\] 3. Весь пройденный путь: \[S = N \cdot 4A = 500 \cdot 4 \cdot 0,003 = 6 \text{ м}\] 4. Перемещение за один полный период равно нулю, так как точка возвращается в исходное положение: \[\Delta \vec{r} = 0\] Ответ: \(S = 6 \text{ м}\); перемещение равно \(0\). Задача №2 Дано: \(m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}\) \(k = 200 \text{ Н/м}\) \(A = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}\) Найти: \(E\) — ?, \(v_{max}\) — ? Решение: 1. Полная механическая энергия пружинного маятника равна максимальной потенциальной энергии деформированной пружины: \[E = \frac{k A^2}{2}\] \[E = \frac{200 \cdot 0,2^2}{2} = \frac{200 \cdot 0,04}{2} = 4 \text{ Дж}\] 2. По закону сохранения энергии, максимальная кинетическая энергия равна полной энергии: \[E = \frac{m v_{max}^2}{2} \Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}\] \[v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4}{0,5}} = \sqrt{16} = 4 \text{ м/с}\] Ответ: \(E = 4 \text{ Дж}\); \(v_{max} = 4 \text{ м/с}\). Задача №3 Дано: \(N_1 = 20\) \(N_2 = 30\) \(\Delta l = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}\) \(t_1 = t_2 = t\) Найти: \(l_1\) — ?, \(l_2\) — ? Решение: 1. Период математического маятника: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\). Также \(T = \frac{t}{N}\). 2. Составим отношение периодов: \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{t/N_1}{t/N_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{30}{20} = 1,5\] 3. С другой стороны: \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{l_1/g}}{2\pi\sqrt{l_2/g}} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}\] \[\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = 1,5 \Rightarrow \frac{l_1}{l_2} = 2,25 \Rightarrow l_1 = 2,25 l_2\] 4. Так как \(l_1 > l_2\), то \(l_1 - l_2 = \Delta l\): \[2,25 l_2 - l_2 = 0,06\] \[1,25 l_2 = 0,06 \Rightarrow l_2 = 0,048 \text{ м} = 4,8 \text{ см}\] \[l_1 = 4,8 + 6 = 10,8 \text{ см}\] Ответ: \(l_1 = 10,8 \text{ см}\); \(l_2 = 4,8 \text{ см}\). Задача №4 Дано: \(t = \frac{2}{3} T\) \(S = 80 \text{ см}\) Найти: \(A\) — ? Решение: 1. Разобьем время движения на интервалы. За время \(t = \frac{1}{2} T\) (половина периода) тело проходит путь \(2A\). 2. Остается время \(\Delta t = \frac{2}{3} T - \frac{1}{2} T = \frac{4-3}{6} T = \frac{1}{6} T\). 3. Уравнение гармонических колебаний (от крайней точки): \(x(t) = A \cos(\omega t)\), где \(\omega = \frac{2\pi}{T}\). 4. За время от \(0\) до \(\frac{1}{2} T\) пройден путь \(2A\). В момент \(t = \frac{1}{2} T\) тело находится в точке \(-A\). Далее за время \(\frac{1}{6} T\) оно пройдет путь от \(-A\) до точки \(x\): \[x = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \left(\frac{1}{2}T + \frac{1}{6}T\right)\right) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{2}{3}T\right) = A \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -0,5A\] 5. Путь на втором этапе: \(|-0,5A - (-A)| = 0,5A\). 6. Общий путь: \(S = 2A + 0,5A = 2,5A\). \[A = \frac{S}{2,5} = \frac{80}{2,5} = 32 \text{ см}\] Ответ: \(A = 32 \text{ см}\).