Решение задачи: Периметр и углы равнобедренного треугольника

Ниже представлены решения задач с изображения, оформленные для записи в тетрадь. Задача 2. Дано: \(P_{RQB} = 28\) см \(RB = 10\) см На чертеже отмечено, что \(RQ = QB\) (равнобедренный треугольник). Найти: \(QB\) Решение: Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: \[P = RQ + QB + RB\] Так как \(RQ = QB\), обозначим их за \(x\). Тогда: \[x + x + 10 = 28\] \[2x = 28 - 10\] \[2x = 18\] \[x = 9\] Ответ: \(QB = 9\) см. Задача 8. Дано: \(\angle ABC = 130^{\circ}\) На чертеже \(\triangle ABC\) равнобедренный (\(\angle A = \angle C\)), \(BH\) — высота (\(BH \perp AC\)). Найти: \(\angle HBC\) Решение: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Следовательно, \(BH\) делит \(\angle ABC\) пополам: \[\angle HBC = \frac{\angle ABC}{2}\] \[\angle HBC = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}\] Ответ: \(65^{\circ}\). Задача 3. Дано: \(P_{SPM} = 44\) см \(SM : SP = 4 : 3\) На чертеже \(\angle S = \angle P\), значит \(\triangle SPM\) — равнобедренный, \(SM = MP\). Найти: \(SM, SP\) Решение: Пусть одна часть равна \(k\). Тогда \(SM = 4k\), \(MP = 4k\) (так как они равны), а \(SP = 3k\). Составим уравнение периметра: \[4k + 4k + 3k = 44\] \[11k = 44\] \[k = 4\] Найдем стороны: \[SM = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}\] \[SP = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}\] Ответ: \(SM = 16\) см, \(SP = 12\) см. Задача 9. Дано: \(\angle TSR = 20^{\circ}\) На чертеже: \(TR = RP\), \(ST = SP\). Значит \(SR\) — медиана равнобедренного \(\triangle TSP\). Найти: \(\angle SPR\) Решение: 1) В равнобедренном треугольнике \(TSP\) (\(ST = SP\)) медиана \(SR\), проведенная к основанию, является биссектрисой. Значит \(\angle TSR = \angle PSR = 20^{\circ}\). 2) Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \(\angle STP = \angle SPT\). 3) Сумма углов треугольника \(TSP\) равна \(180^{\circ}\). Угол при вершине \(\angle TSP = 20^{\circ} + 20^{\circ} = 40^{\circ}\). \[\angle SPT = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ}\] Так как точки \(S, P, R\) образуют тот же угол, \(\angle SPR = 70^{\circ}\). Ответ: \(70^{\circ}\).