Решение задач 296-306 по геометрии с чертежами

Ниже представлены решения задач с номера 296 по 306. Для каждой задачи приведено описание построения чертежа и математическое решение. Задача 296. Найдите координаты середины отрезка BC. Формулы для координат середины отрезка \(M(x; y)\): \[x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}\] 1) \(B(5; 4)\), \(C(3; 2)\) \[x = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad y = \frac{4 + 2}{2} = 3\] Ответ: \((4; 3)\). 2) \(B(-2; -1)\), \(C(-1; 7)\) \[x = \frac{-2 + (-1)}{2} = -1.5, \quad y = \frac{-1 + 7}{2} = 3\] Ответ: \((-1.5; 3)\). Чертеж: На координатной плоскости отметьте точки B и C, соедините их отрезком и отметьте точку посередине. Задача 297. Точка C — середина AB. Найдите координаты точки B. Используем формулы: \(x_B = 2x_C - x_A\), \(y_B = 2y_C - y_A\). 1) \(A(3; -4)\), \(C(2; 1)\) \[x_B = 2 \cdot 2 - 3 = 1, \quad y_B = 2 \cdot 1 - (-4) = 6\] Ответ: \(B(1; 6)\). 2) \(A(-1; 1)\), \(C(0.5; -1)\) \[x_B = 2 \cdot 0.5 - (-1) = 2, \quad y_B = 2 \cdot (-1) - 1 = -3\] Ответ: \(B(2; -3)\). Чертеж: Отметьте точки A и C, проведите луч AC и отложите от C такой же отрезок, чтобы найти B. Задача 299. Найдите медиану BM треугольника ABC, если \(A(3; -2)\), \(B(2; 3)\), \(C(7; 4)\). 1. Найдем координаты точки M (середина AC): \[x_M = \frac{3 + 7}{2} = 5, \quad y_M = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \Rightarrow M(5; 1)\] 2. Найдем длину BM по формуле расстояния: \[BM = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\] Ответ: \(\sqrt{13}\). Чертеж: Постройте треугольник ABC, отметьте середину AC (точку M) и проведите отрезок BM. Задача 300. Даны \(A(-2; 4)\) и \(B(2; -8)\). Найдите расстояние от начала координат \(O(0; 0)\) до середины AB. 1. Координаты середины M: \[x_M = \frac{-2 + 2}{2} = 0, \quad y_M = \frac{4 - 8}{2} = -2 \Rightarrow M(0; -2)\] 2. Расстояние OM: \[OM = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{4} = 2\] Ответ: 2. Чертеж: Отметьте A и B, найдите их середину M на оси ординат и измерьте расстояние до центра. Задача 301. Докажите, что треугольник с вершинами \(A(2; 7)\), \(B(-1; 4)\), \(C(1; 2)\) прямоугольный. Найдем квадраты сторон: \[AB^2 = (-1-2)^2 + (4-7)^2 = 9 + 9 = 18\] \[BC^2 = (1-(-1))^2 + (2-4)^2 = 4 + 4 = 8\] \[AC^2 = (1-2)^2 + (2-7)^2 = 1 + 25 = 26\] Заметим, что \(AB^2 + BC^2 = 18 + 8 = 26 = AC^2\). По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с гипотенузой AC. Чертеж: Постройте треугольник по точкам, прямой угол будет в вершине B. Задача 302. \(A(-1; 2)\), \(B(7; 4)\). Может ли третья вершина быть: 1) \(C(7; 2)\)? Проверим скалярное произведение векторов или теорему Пифагора. \(AC^2 = (7+1)^2 + (2-2)^2 = 64\), \(BC^2 = (7-7)^2 + (2-4)^2 = 4\), \(AB^2 = (7+1)^2 + (4-2)^2 = 64 + 4 = 68\). \(64 + 4 = 68\). Да, треугольник прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)). 2) \(C(2; -3)\)? \(AC^2 = (2+1)^2 + (-3-2)^2 = 9 + 25 = 34\). \(BC^2 = (2-7)^2 + (-3-4)^2 = 25 + 49 = 74\). \(AB^2 = 68\). Сумма любых двух не равна третьему. Нет. Ответ: 1) Да; 2) Нет. Задача 303. Лежат ли на одной прямой: 1) \(A(-2; -7)\), \(B(-1; -4)\), \(C(5; 14)\). Найдем длины: \(AB = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\), \(BC = \sqrt{6^2 + 18^2} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\), \(AC = \sqrt{7^2 + 21^2} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}\). Так как \(AB + BC = AC\), точки лежат на одной прямой. Точка B между A и C. 2) \(D(-1; 3)\), \(E(2; 13)\), \(F(5; 21)\). \(DE = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{109}\), \(EF = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{73}\), \(DF = \sqrt{6^2 + 18^2} = \sqrt{360}\). Сумма не совпадает. Нет. Чертеж: Для пункта 1 проведите прямую через эти точки. Задача 304. Докажите, что \(M(-4; 5)\), \(N(-10; 7)\), \(K(8; 1)\) лежат на одной прямой. \(MN = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\) \(NK = \sqrt{18^2 + (-6)^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\) \(MK = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\) Так как \(MN + MK = 2\sqrt{10} + 4\sqrt{10} = 6\sqrt{10} = NK\), точки лежат на одной прямой. Точка M лежит между N и K. Задача 305. При каком \(x\) расстояние между \(C(2; x)\) и \(D(-1; x)\) равно 5? \[\sqrt{(-1 - 2)^2 + (x - x)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0} = 3\] Расстояние всегда равно 3 и не зависит от \(x\). Значит, таких \(x\) не существует. Ответ: решений нет. Задача 306. На оси абсцисс (\(y=0\)) найдите точку... (текст обрезан, обычно ищут точку, равноудаленную от двух других). Если нужно найти точку \(X(x; 0)\), равноудаленную от \(A\) и \(B\), нужно решить уравнение \(AX^2 = BX^2\).