Решение задачи по геометрии: Нахождение углов треугольника

Ниже представлено решение задач Теста 7 (Вариант 2) в виде, удобном для переписывания в тетрадь. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), внешний угол при вершине \( A = 146^\circ \). Найти: \( \angle B \). Решение: 1) Внутренний угол \( A \) и внешний угол при этой вершине являются смежными, их сумма равна \( 180^\circ \). \[ \angle A = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ \] 2) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^\circ \). \[ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \] Ответ: \( 56^\circ \). Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, внешний угол при основании равен \( 140^\circ \). Найти: угол при вершине. Решение: 1) Угол при основании (пусть это \( \angle A \)) смежен с внешним углом: \[ \angle A = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \] 2) Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \( \angle A = \angle C = 40^\circ \). 3) Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Угол при вершине \( B \): \[ \angle B = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \] Ответ: \( 100^\circ \). Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \), внешний угол при \( B = 108^\circ \), \( \angle A = 98^\circ \). Найти: \( \angle BCA \). Решение: По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: \[ \text{Внешний } \angle B = \angle A + \angle BCA \] \[ 108^\circ = 98^\circ + \angle BCA \] \[ \angle BCA = 108^\circ - 98^\circ = 10^\circ \] Ответ: \( 10^\circ \). Задача 4. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = \angle C - 43^\circ \), внешний угол при \( C = 97^\circ \). Найти: \( \angle A \). Решение: 1) Найдем внутренний угол \( C \), так как он смежен с внешним: \[ \angle C = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ \] 2) По условию \( \angle A \) на \( 43^\circ \) меньше \( \angle C \): \[ \angle A = 83^\circ - 43^\circ = 40^\circ \] Ответ: \( 40^\circ \). Задача 5. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( AD \) и \( BF \) — биссектрисы. Найти: \( \angle AOB \). Решение: 1) В \( \triangle ABC \): \( \angle A + \angle B = 90^\circ \). 2) В \( \triangle AOB \) углы при основании \( AB \) равны половинам острых углов исходного треугольника (так как \( AD \) и \( BF \) — биссектрисы): \[ \angle OAB + \angle OBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \] 3) Из \( \triangle AOB \): \[ \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] Ответ: \( 135^\circ \). Задача 6. Условие: Сумма двух углов меньше третьего угла. Определить вид треугольника. Решение: Пусть углы треугольника \( \alpha, \beta, \gamma \). По условию \( \alpha + \beta < \gamma \). Мы знаем, что \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \). Заменим \( \alpha + \beta \) на выражение из неравенства: Так как \( \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma \), то: \[ 180^\circ - \gamma < \gamma \] \[ 180^\circ < 2\gamma \] \[ \gamma > 90^\circ \] Так как один из углов больше \( 90^\circ \), треугольник является тупоугольным. Ответ: 3. Треугольник тупоугольный.