Решение: Вариант 3, Задание 13 - Коэффициент Корреляции

Задание 13. Вариант 3. Дана выборка из 10 объектов с признаками X и Y: X: 4,1; 6,0; 5,5; 4,9; 4,0; 5,2; 5,9; 5,4; 4,8; 4,5. Y: 11,2; 14,5; 13,3; 12,5; 11,0; 12,9; 13,8; 14,0; 12,0; 15,3. 1) Нахождение выборочного коэффициента корреляции. Для расчета составим вспомогательную таблицу сумм (n = 10): \[ \sum X_i = 4,1 + 6,0 + 5,5 + 4,9 + 4,0 + 5,2 + 5,9 + 5,4 + 4,8 + 4,5 = 50,3 \] \[ \sum Y_i = 11,2 + 14,5 + 13,3 + 12,5 + 11,0 + 12,9 + 13,8 + 14,0 + 12,0 + 15,3 = 130,5 \] Вычислим средние значения: \[ \bar{x} = \frac{50,3}{10} = 5,03 \] \[ \bar{y} = \frac{130,5}{10} = 13,05 \] Вычислим суммы квадратов и сумму произведений: \[ \sum X_i^2 = 4,1^2 + 6,0^2 + 5,5^2 + 4,9^2 + 4,0^2 + 5,2^2 + 5,9^2 + 5,4^2 + 4,8^2 + 4,5^2 = 257,17 \] \[ \sum Y_i^2 = 11,2^2 + 14,5^2 + 13,3^2 + 12,5^2 + 11,0^2 + 12,9^2 + 13,8^2 + 14,0^2 + 12,0^2 + 15,3^2 = 1719,97 \] \[ \sum X_i Y_i = 4,1 \cdot 11,2 + 6,0 \cdot 14,5 + ... + 4,5 \cdot 15,3 = 661,31 \] Выборочный коэффициент корреляции \( r_{xy} \) вычисляется по формуле: \[ r_{xy} = \frac{n \sum X_i Y_i - \sum X_i \sum Y_i}{\sqrt{[n \sum X_i^2 - (\sum X_i)^2][n \sum Y_i^2 - (\sum Y_i)^2]}} \] \[ r_{xy} = \frac{10 \cdot 661,31 - 50,3 \cdot 130,5}{\sqrt{[10 \cdot 257,17 - 50,3^2][10 \cdot 1719,97 - 130,5^2]}} \] \[ r_{xy} = \frac{6613,1 - 6564,15}{\sqrt{[2571,7 - 2530,09][17199,7 - 17030,25]}} \] \[ r_{xy} = \frac{48,95}{\sqrt{41,61 \cdot 169,45}} = \frac{48,95}{\sqrt{7050,81}} \approx \frac{48,95}{83,97} \approx 0,583 \] Оценка тесноты связи: так как \( 0,5 < |r| < 0,7 \), связь между признаками заметная, прямая. 2) Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции (\( \alpha = 0,01 \)). Основная гипотеза \( H_0: \rho = 0 \). Наблюдаемое значение критерия: \[ T_{набл} = r \cdot \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} = 0,583 \cdot \sqrt{\frac{8}{1-0,583^2}} \approx 0,583 \cdot \sqrt{\frac{8}{0,66}} \approx 0,583 \cdot 3,48 \approx 2,03 \] Критическое значение по таблице Стьюдента \( t_{крит}(0,01; 8) \approx 3,355 \). Так как \( |T_{набл}| < t_{крит} \), гипотеза \( H_0 \) принимается. Коэффициент корреляции статистически незначим на уровне 0,01 (малая выборка). 3) Доверительный интервал для коэффициента корреляции (\( \gamma = 0,95 \)). Используем преобразование Фишера: \( z = 0,5 \cdot \ln \frac{1+r}{1-r} \). \[ z = 0,5 \cdot \ln \frac{1,583}{0,417} \approx 0,667 \] Среднеквадратическая ошибка: \( \sigma_z = \frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{7}} \approx 0,378 \). Для \( \gamma = 0,95 \), \( t = 1,96 \). Интервал для z: \( (0,667 - 1,96 \cdot 0,378; 0,667 + 1,96 \cdot 0,378) = (-0,074; 1,408) \). Переходя обратно к r: \( (-0,07; 0,89) \). 4) Выборочное уравнение регрессии Y на X. Уравнение имеет вид: \( y - \bar{y} = \rho_{yx} \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (x - \bar{x}) \). Вычислим коэффициенты: \[ b = \frac{n \sum X_i Y_i - \sum X_i \sum Y_i}{n \sum X_i^2 - (\sum X_i)^2} = \frac{48,95}{41,61} \approx 1,176 \] \[ a = \bar{y} - b \bar{x} = 13,05 - 1,176 \cdot 5,03 \approx 13,05 - 5,915 = 7,135 \] Уравнение регрессии: \( \hat{y} = 1,176x + 7,135 \). 5) Графики. Для построения эмпирической линии нанесите точки \( (X_i, Y_i) \) на координатную плоскость. Для теоретической линии проведите прямую через точки, например: При \( x = 4 \), \( \hat{y} \approx 11,84 \). При \( x = 6 \), \( \hat{y} \approx 14,19 \).