Решение производной ctg(3x) в точке x₀ = π/2

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

Задача 3

Вычислите значение производной функции \(y = \text{ctg } 3x\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\).

Решение:

1. Найдем производную функции \(y = \text{ctg } 3x\). Используем правило производной сложной функции: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Здесь \(f(u) = \text{ctg } u\) и \(u = 3x\). Производная \(\text{ctg } u\) равна \(-\frac{1}{\sin^2 u}\). Производная \(3x\) равна \(3\). Тогда, \(y' = (\text{ctg } 3x)' = -\frac{1}{\sin^2 (3x)} \cdot (3x)' = -\frac{3}{\sin^2 (3x)}\). 2. Подставим значение \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) в полученную производную. \(y'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{3}{\sin^2 (3 \cdot \frac{\pi}{2})} = -\frac{3}{\sin^2 (\frac{3\pi}{2})}\). Мы знаем, что \(\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1\). Тогда, \(\sin^2(\frac{3\pi}{2}) = (-1)^2 = 1\). Следовательно, \(y'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{3}{1} = -3\).

Ответ:

Значение производной функции \(y = \text{ctg } 3x\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) равно \(-3\).

Задача 4

Найдите все значения \(x\), при каждом из которых производная функции \(y = x^3 + 3x^2 - 9x - 13\) равна нулю.

Решение:

1. Найдем производную функции \(y = x^3 + 3x^2 - 9x - 13\). Используем правила дифференцирования: \((x^n)' = nx^{n-1}\) и \((C)' = 0\). \(y' = (x^3)' + (3x^2)' - (9x)' - (13)'\) \(y' = 3x^{3-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} - 9 \cdot 1x^{1-1} - 0\) \(y' = 3x^2 + 6x - 9\). 2. Приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение. \(3x^2 + 6x - 9 = 0\). Разделим все члены уравнения на 3, чтобы упростить его: \(x^2 + 2x - 3 = 0\). 3. Решим квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 3 = 0\) с помощью дискриминанта или теоремы Виета. Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\). \(D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\). \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).

Ответ:

Производная функции равна нулю при \(x = 1\) и \(x = -3\).

Задача 5

Найдите \(f'(x)\), если: а) \(f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} - 6\sqrt[3]{x^4}\); б) \(f(x) = e^{3x+2}\); в) \(f(x) = x\sqrt{x^2-3x+4}\).

Решение:

а) \(f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x}} - 6\sqrt[3]{x^4}\) Перепишем функцию в виде степеней: \(f(x) = 3x^{-\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{4}{3}}\). Найдем производную, используя правило \((x^n)' = nx^{n-1}\): \(f'(x) = 3 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} - 6 \cdot (\frac{4}{3})x^{\frac{4}{3}-1}\) \(f'(x) = -1x^{-\frac{4}{3}} - 8x^{\frac{1}{3}}\) \(f'(x) = -\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} - 8\sqrt[3]{x}\) \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} - 8\sqrt[3]{x}\).
б) \(f(x) = e^{3x+2}\) Найдем производную, используя правило \((e^u)' = e^u \cdot u'\) (производная сложной функции). Здесь \(u = 3x+2\). \(u' = (3x+2)' = 3\). \(f'(x) = e^{3x+2} \cdot (3x+2)'\) \(f'(x) = e^{3x+2} \cdot 3\) \(f'(x) = 3e^{3x+2}\).
в) \(f(x) = x\sqrt{x^2-3x+4}\) Найдем производную, используя правило произведения \((uv)' = u'v + uv'\) и правило производной сложной функции для корня. Пусть \(u = x\) и \(v = \sqrt{x^2-3x+4}\). Тогда \(u' = (x)' = 1\). Для \(v'\) используем \(( \sqrt{w} )' = \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot w'\), где \(w = x^2-3x+4\). \(w' = (x^2-3x+4)' = 2x-3\). \(v' = \frac{1}{2\sqrt{x^2-3x+4}} \cdot (2x-3) = \frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\). Теперь подставим все в формулу произведения: \(f'(x) = u'v + uv'\) \(f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x^2-3x+4} + x \cdot \frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\) \(f'(x) = \sqrt{x^2-3x+4} + \frac{x(2x-3)}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\). Приведем к общему знаменателю: \(f'(x) = \frac{2(\sqrt{x^2-3x+4})^2 + x(2x-3)}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\) \(f'(x) = \frac{2(x^2-3x+4) + 2x^2-3x}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\) \(f'(x) = \frac{2x^2-6x+8 + 2x^2-3x}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\) \(f'(x) = \frac{4x^2-9x+8}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\).

Ответ:

а) \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}} - 8\sqrt[3]{x}\) б) \(f'(x) = 3e^{3x+2}\) в) \(f'(x) = \frac{4x^2-9x+8}{2\sqrt{x^2-3x+4}}\)

Задача 6

Точка движется по прямой. Зависимость ее координаты \(x\) от времени \(t\) задана формулой \(x = 17 + 24t - 4t^2\). Найдите момент времени \(t\), когда точка остановится.

Решение:

1. Точка останавливается, когда ее скорость равна нулю. Скорость - это производная координаты по времени. Дана функция координаты: \(x(t) = 17 + 24t - 4t^2\). Найдем производную \(x'(t)\), которая является функцией скорости \(v(t)\). \(v(t) = x'(t) = (17)' + (24t)' - (4t^2)'\) \(v(t) = 0 + 24 \cdot 1 - 4 \cdot 2t\) \(v(t) = 24 - 8t\). 2. Приравняем скорость к нулю, чтобы найти момент времени, когда точка остановится. \(v(t) = 0\) \(24 - 8t = 0\) \(8t = 24\) \(t = \frac{24}{8}\) \(t = 3\).

Ответ:

Точка остановится в момент времени \(t = 3\) (единицы времени).

Задача 7

Найдите производную функции \(f(x) = e^{\sqrt{\sin x}}\).

Решение:

Найдем производную функции \(f(x) = e^{\sqrt{\sin x}}\). Это сложная функция вида \(e^u\), где \(u = \sqrt{\sin x}\). Используем правило \((e^u)' = e^u \cdot u'\). 1. Найдем производную \(u' = (\sqrt{\sin x})'\). Это также сложная функция вида \(\sqrt{w}\), где \(w = \sin x\). Используем правило \((\sqrt{w})' = \frac{1}{2\sqrt{w}} \cdot w'\). \(w' = (\sin x)' = \cos x\). Тогда, \(u' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\). 2. Теперь подставим \(u\) и \(u'\) в формулу для \(f'(x)\): \(f'(x) = e^{\sqrt{\sin x}} \cdot u'\) \(f'(x) = e^{\sqrt{\sin x}} \cdot \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\).

Ответ:

Производная функции \(f(x) = e^{\sqrt{\sin x}}\) равна \(f'(x) = \frac{\cos x \cdot e^{\sqrt{\sin x}}}{2\sqrt{\sin x}}\).