Задача 2. В летний жаркий день бабушка захотела мороженого — крем-брюле в вафельном стаканчике, которое продаётся только на железнодорожной станции в Яшино. От Лутошкино до Яшино можно добраться тремя способами: на такси по шоссе до Яшино; на такси по шоссе до Новозябцево, а потом пешком вдоль озера по грунтовой дороге до Яшино; на квадроциклах по грунтовой дороге через лес до Яшино. Определи, сколько времени затратится на дорогу от бабушки до железнодорожной станции, если ребята выберут самый быстрый маршрут. Округли ответ до сотых.
Дано:
- Сторона одной клетки равна 1 км.
- Скорость такси по шоссе: \(V_{\text{такси}} = 50\) км/ч.
- Скорость квадроцикла: \(V_{\text{квадроцикл}} = 37\) км/ч.
- Скорость пешком: \(V_{\text{пешком}} = 5\) км/ч.
Найти: Минимальное время \(T_{\text{мин}}\), округленное до сотых.
Решение:
Сначала определим координаты ключевых точек на плане местности (предполагая, что бабушка находится в точке 4, а железнодорожная станция в Яшино - в точке 1).
- Бабушка (точка 4): (10; 4)
- Железнодорожная станция в Яшино (точка 1): (10; 10)
- Новозябцево (точка 3): (4; 4)
- Озеро (область между точками 2 и 3)
Расстояния будем измерять в километрах, так как 1 клетка = 1 км.
Рассмотрим каждый из трёх способов:
Способ 1: На такси по шоссе до Яшино.
Путь от бабушки (точка 4) до Яшино (точка 1) по шоссе. Шоссе проходит по вертикали от точки 4 до точки 1.
Расстояние \(S_1\) = количество клеток по вертикали от (10;4) до (10;10) = \(10 - 4 = 6\) км.
Время \(T_1 = \frac{S_1}{V_{\text{такси}}} = \frac{6 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.12 \text{ ч}\).
Способ 2: На такси по шоссе до Новозябцево, а потом пешком вдоль озера по грунтовой дороге до Яшино.
Этот маршрут состоит из двух частей:
а) На такси от бабушки (точка 4) до Новозябцево (точка 3).
Путь от (10;4) до (4;4) по шоссе.
Расстояние \(S_{2а}\) = количество клеток по горизонтали от (10;4) до (4;4) = \(10 - 4 = 6\) км.
Время \(T_{2а} = \frac{S_{2а}}{V_{\text{такси}}} = \frac{6 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.12 \text{ ч}\).
б) Пешком от Новозябцево (точка 3) вдоль озера по грунтовой дороге до Яшино (точка 1).
Путь от (4;4) до (10;10) по грунтовой дороге вдоль озера. На рисунке это диагональный путь.
Для определения расстояния используем теорему Пифагора, так как путь представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника.
Горизонтальное смещение: \(dx = 10 - 4 = 6\) км.
Вертикальное смещение: \(dy = 10 - 4 = 6\) км.
Расстояние \(S_{2б} = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}\) км.
\[\sqrt{72} \approx 8.485 \text{ км}\]
Время \(T_{2б} = \frac{S_{2б}}{V_{\text{пешком}}} = \frac{\sqrt{72} \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} \approx \frac{8.485}{5} \approx 1.697 \text{ ч}\).
Общее время для Способа 2: \(T_2 = T_{2а} + T_{2б} = 0.12 \text{ ч} + 1.697 \text{ ч} = 1.817 \text{ ч}\).
Способ 3: На квадроциклах по грунтовой дороге через лес до Яшино.
Путь от бабушки (точка 4) до Яшино (точка 1) по грунтовой дороге через лес. На рисунке это также диагональный путь.
Горизонтальное смещение: \(dx = 10 - 4 = 6\) км.
Вертикальное смещение: \(dy = 10 - 4 = 6\) км.
Расстояние \(S_3 = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72}\) км.
\[\sqrt{72} \approx 8.485 \text{ км}\]
Время \(T_3 = \frac{S_3}{V_{\text{квадроцикл}}} = \frac{\sqrt{72} \text{ км}}{37 \text{ км/ч}} \approx \frac{8.485}{37} \approx 0.229 \text{ ч}\).
Сравним время для всех трёх способов:
- \(T_1 = 0.12 \text{ ч}\)
- \(T_2 = 1.817 \text{ ч}\)
- \(T_3 = 0.229 \text{ ч}\)
Самый быстрый маршрут — это Способ 1, так как \(0.12\) ч является наименьшим значением.
Округлим ответ до сотых:
\(0.12\) уже округлено до сотых.
Ответ: Ребята затратят \(0.12\) часа.