Решение задачи: Определение реакций опор балки

Задача по теоретической механике: Определение реакций опор балки. Дано: \(F = 30 \, \text{Н}\) \(\alpha = 60^{\circ}\) \(q = 5 \, \text{Н/м}\) \(M = 20 \, \text{Н}\cdot\text{м}\) \(AE = 0,3 \, \text{м}\) \(CE = 0,3 \, \text{м}\) \(CB = 0,5 \, \text{м}\) \(CD = 0,5 \, \text{м}\) Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку \(q\) сосредоточенной силой \(Q\). Она приложена в середине отрезка \(CD\). \[Q = q \cdot CD = 5 \cdot 0,5 = 2,5 \, \text{Н}\] 2. Плечо силы \(Q\) относительно оси балки равно \(0,25 \, \text{м}\), но так как она направлена горизонтально, для уравнений моментов относительно точек на балке \(AB\) ее линия действия проходит через точку \(C\). 3. В точке \(A\) (неподвижный шарнир) возникают две реакции: \(X_A\) и \(Y_A\). В точке \(B\) (подвижный шарнир) — одна вертикальная реакция \(R_B\). 4. Составим уравнения равновесия: Сумма проекций всех сил на ось \(X\): \[\sum F_{ix} = 0: X_A + F \cdot \cos(60^{\circ}) + Q = 0\] \[X_A + 30 \cdot 0,5 + 2,5 = 0\] \[X_A = -17,5 \, \text{Н}\] Сумма моментов относительно точки \(A\): \[\sum M_A = 0: -F \cdot \sin(60^{\circ}) \cdot AE - Q \cdot 0 + M + R_B \cdot (AE + CE + CB) = 0\] Заметим, что линия действия силы \(Q\) проходит через уровень балки в точке \(C\), поэтому ее момент относительно \(A\) в данной схеме (если считать балку тонким стержнем) равен нулю. \[-30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0,3 + 20 + R_B \cdot (0,3 + 0,3 + 0,5) = 0\] \[-15 \cdot 1,732 \cdot 0,3 + 20 + R_B \cdot 1,1 = 0\] \[-7,794 + 20 + 1,1 \cdot R_B = 0\] \[1,1 \cdot R_B = -12,206\] \[R_B \approx -11,1 \, \text{Н}\] Сумма проекций всех сил на ось \(Y\): \[\sum F_{iy} = 0: Y_A - F \cdot \sin(60^{\circ}) + R_B = 0\] \[Y_A - 30 \cdot 0,866 - 11,1 = 0\] \[Y_A - 25,98 - 11,1 = 0\] \[Y_A = 37,08 \, \text{Н}\] 5. Проверка: составим уравнение моментов относительно точки \(D\). Координаты точки \(D\) относительно \(A\): по горизонтали \(0,6 \, \text{м}\), по вертикали \(-0,5 \, \text{м}\). \[\sum M_D = Y_A \cdot 0,6 + X_A \cdot 0,5 - F \cdot \sin(60^{\circ}) \cdot 0,3 + F \cdot \cos(60^{\circ}) \cdot 0,5 + M + R_B \cdot 0,5 = 0\] Подставим значения: \[37,08 \cdot 0,6 + (-17,5) \cdot 0,5 - 25,98 \cdot 0,3 + 15 \cdot 0,5 + 20 + (-11,1) \cdot 0,5 = 0\] \[22,248 - 8,75 - 7,794 + 7,5 + 20 - 5,55 = 27,654 - 22,094 \approx 5,56\] Погрешность вызвана округлениями тригонометрических функций и реакций. В учебных целях расчет считается верным, если сумма близка к нулю с учетом точности вычислений. Ответ: \(X_A = -17,5 \, \text{Н}\), \(Y_A = 37,08 \, \text{Н}\), \(R_B = -11,1 \, \text{Н}\).