Решение системы уравнений: совместность

Решим данную задачу. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\ 4x_1 + 5x_3 = 2 \\ -x_1 + 6x_2 + 4x_3 = 3 \end{cases} \] Для того чтобы определить, является ли система определенной, неопределенной или несовместной, мы можем использовать метод Гаусса или вычислить определитель основной матрицы. Запишем расширенную матрицу системы: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 4 & 0 & 5 & | & 2 \\ -1 & 6 & 4 & | & 3 \end{pmatrix} \] Выполним элементарные преобразования строк: 1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 4: \(R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1\) 2. Прибавим к третьей строке первую: \(R_3 \leftarrow R_3 + R_1\) Получим: \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 2 & 5 - 4 \cdot 3 & | & 2 - 4 \cdot 1 \\ -1 + 1 & 6 + 2 & 4 + 3 & | & 3 + 1 \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -8 & -7 & | & -2 \\ 0 & 8 & 7 & | & 4 \end{pmatrix} \] Теперь прибавим к третьей строке вторую: \(R_3 \leftarrow R_3 + R_2\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -8 & -7 & | & -2 \\ 0 & 8 + (-8) & 7 + (-7) & | & 4 + (-2) \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 \\ 0 & -8 & -7 & | & -2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix} \] Мы получили строку вида \(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2\). Это означает, что \(0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 2\), что равносильно \(0 = 2\). Это противоречие. Такое противоречие указывает на то, что система уравнений не имеет решений. Система, которая не имеет решений, называется **несовместной**. Вывод: Система линейных уравнений является несовместной. Ответ: Система несовместная.