Решение задачи: Совместное ли это уравнение векторов?

Решим данную задачу. Нам даны три вектора: \(\vec{a_1} = (1; 4; 6)\) \(\vec{a_2} = (1; -1; 3)\) \(\vec{a_3} = (1; 1; 3)\) Чтобы выяснить, являются ли эти векторы линейно независимыми, мы можем составить матрицу из этих векторов и вычислить ее определитель. Если определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы. Если определитель равен нулю, то векторы линейно зависимы. Составим матрицу, где столбцами (или строками) являются данные векторы: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] Вычислим определитель этой матрицы: \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & 3 \end{vmatrix} \] Используем правило Саррюса или разложение по строке/столбцу. Разложим по первой строке: \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} \] Вычислим определители матриц 2x2: \[ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 3 = -3 - 3 = -6 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - (-1) \cdot 6 = 12 + 6 = 18 \] Теперь подставим эти значения обратно в формулу для \(\det(A)\): \[ \det(A) = 1 \cdot (-6) - 1 \cdot (6) + 1 \cdot (18) \] \[ \det(A) = -6 - 6 + 18 \] \[ \det(A) = -12 + 18 \] \[ \det(A) = 6 \] Так как определитель матрицы \(A\) равен 6, что не равно нулю (\(\det(A) \neq 0\)), то векторы \(\vec{a_1}\), \(\vec{a_2}\), \(\vec{a_3}\) являются линейно независимыми. Альтернативный способ (с использованием элементарных преобразований): \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \] Вычтем из второй строки первую, умноженную на 4: \(R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1\) Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 6: \(R_3 \leftarrow R_3 - 6R_1\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix} \] Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на \(\frac{3}{5}\): \(R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{5}R_2\) \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & -3 - \frac{3}{5}(-5) & -3 - \frac{3}{5}(-3) \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & -3 + 3 & -3 + \frac{9}{5} \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & -\frac{15}{5} + \frac{9}{5} \end{pmatrix} \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & -\frac{6}{5} \end{pmatrix} \] Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали: \(1 \cdot (-5) \cdot (-\frac{6}{5}) = 6\). Так как определитель не равен нулю, векторы линейно независимы. Ответ: Линейно независимы.