Найти угол A треугольника ABC: подробное решение

Решим данную задачу. Даны вершины треугольника \(ABC\): Точка \(A(1; 7)\) Точка \(B(-3; -1)\) Точка \(C(11; -3)\) Нам нужно найти острый угол \(A\) в градусах. Угол \(A\) образован векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Шаг 1: Найдем координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Вектор \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)\) \(\vec{AB} = (-3 - 1; -1 - 7)\) \(\vec{AB} = (-4; -8)\) Вектор \(\vec{AC}\): \(\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A)\) \(\vec{AC} = (11 - 1; -3 - 7)\) \(\vec{AC} = (10; -10)\) Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Скалярное произведение двух векторов \(\vec{u} = (u_x; u_y)\) и \(\vec{v} = (v_x; v_y)\) равно: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4) \cdot 10 + (-8) \cdot (-10)\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -40 + 80\) \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 40\) Шаг 3: Вычислим длины (модули) векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Длина вектора \(\vec{u} = (u_x; u_y)\) равна \(\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}\). Длина вектора \(\vec{AB}\): \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2}\) \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{16 + 64}\) \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{80}\) \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\) Длина вектора \(\vec{AC}\): \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{10^2 + (-10)^2}\) \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{100 + 100}\) \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{200}\) \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}\) Шаг 4: Найдем косинус угла \(A\). Косинус угла между двумя векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) вычисляется по формуле: \(\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|}\) \(\cos A = \frac{40}{4\sqrt{5} \cdot 10\sqrt{2}}\) \(\cos A = \frac{40}{40\sqrt{5 \cdot 2}}\) \(\cos A = \frac{40}{40\sqrt{10}}\) \(\cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}\) Шаг 5: Найдем значение угла \(A\) в градусах. \(A = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\) Для вычисления значения в градусах используем калькулятор. \(\frac{1}{\sqrt{10}} \approx \frac{1}{3.162} \approx 0.3162\) \(A = \arccos(0.3162)\) \(A \approx 71.565^\circ\) Округлим до целых градусов, если не указано иное. Обычно в таких задачах ожидается целое число или число с одной-двумя десятичными знаками. Если требуется "острый угол", то наш угол \(71.565^\circ\) является острым (меньше 90 градусов). Если требуется округлить до ближайшего целого, то \(A \approx 72^\circ\). Ответ: 72