Решение: Траектория точки - эллипс

Решим данную задачу. Траектория точки \(M(x; y)\), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке \(F(-1; 0)\), чем к прямой \(x = -4\), является коническим сечением. Определение: Коническое сечение - это множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы является постоянной величиной, называемой эксцентриситетом \(e\). В данном случае, расстояние от точки \(M\) до фокуса \(F\) вдвое меньше, чем расстояние от точки \(M\) до директрисы \(x = -4\). Значит, эксцентриситет \(e = \frac{1}{2}\). Поскольку \(e < 1\), траектория является эллипсом. Дано: Фокус \(F(-1; 0)\) Директриса \(d: x = -4\) Эксцентриситет \(e = \frac{1}{2}\) Пусть точка \(M\) имеет координаты \((x; y)\). Расстояние от точки \(M(x; y)\) до фокуса \(F(-1; 0)\) равно: \(MF = \sqrt{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}\) Расстояние от точки \(M(x; y)\) до прямой \(x = -4\) (директрисы) равно: \(Md = |x - (-4)| = |x + 4|\) По условию, \(MF = e \cdot Md\), где \(e = \frac{1}{2}\). \(\sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{1}{2} |x + 4|\) Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и модуля (так как обе части неотрицательны): \((x + 1)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2} (x + 4)\right)^2\) \((x + 1)^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x + 4)^2\) Раскроем скобки: \(x^2 + 2x + 1 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 + 8x + 16)\) Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби: \(4(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 + 8x + 16\) \(4x^2 + 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 8x + 16\) Перенесем все члены в левую часть: \(4x^2 - x^2 + 8x - 8x + 4y^2 + 4 - 16 = 0\) \(3x^2 + 4y^2 - 12 = 0\) Перенесем константу в правую часть: \(3x^2 + 4y^2 = 12\) Разделим все уравнение на 12, чтобы привести его к каноническому виду эллипса \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\): \(\frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = \frac{12}{12}\) \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) Это и есть уравнение траектории точки \(M\). Теперь сравним полученное уравнение с предложенными вариантами: 1. \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 2. \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) (повторяется) 3. \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) 4. \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) (повторяется) Наше уравнение \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) совпадает с третьим и четвертым вариантами. Ответ: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)