Стандартные разложения функций в ряд Тейлора

Ниже приведены основные стандартные разложения функций в ряд Маклорена (ряд Тейлора в окрестности точки \( x = 0 \)), которые чаще всего используются в школьной и вузовской программе. Записи оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. 1. Экспоненциальная функция: \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \] 2. Синус: \[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] 3. Косинус: \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \] 4. Натуральный логарифм (для \( -1 < x \le 1 \)): \[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \] 5. Геометрическая прогрессия (для \( |x| < 1 \)): \[ \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \] \[ \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \] 6. Арктангенс (для \( |x| \le 1 \)): \[ \text{arctg } x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \] 7. Биномиальное разложение (для \( |x| < 1 \)): \[ (1 + x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!} x^2 + \dots + \frac{m(m-1)\dots(m-n+1)}{n!} x^n + \dots \] Эти формулы являются базовыми для вычисления пределов, приближенных вычислений и решения дифференциальных уравнений. При переписывании в тетрадь важно указывать область сходимости ряда (например, для логарифма или бинома).