Признак Даламбера: Решение задачи и пример

Признак Даламбера используется для исследования сходимости числового ряда с положительными членами. Ниже приведена краткая и понятная запись для тетради. Пусть дан числовой ряд с положительными членами: \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \text{ где } a_n > 0 \] Для проверки ряда на сходимость необходимо найти предел отношения последующего члена к предыдущему при \( n \to \infty \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \] Согласно признаку Даламбера: 1. Если \( L < 1 \), то ряд сходится. 2. Если \( L > 1 \) (или \( L = \infty \)), то ряд расходится. 3. Если \( L = 1 \), то признак Даламбера не дает ответа (ряд может как сходиться, так и расходиться), и нужно использовать другие признаки. Пример применения для тетради: Исследовать на сходимость ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \). Решение: Выпишем общий член ряда и последующий: \[ a_n = \frac{1}{n!}, \quad a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \] Найдем предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n! \cdot (n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 \] Так как \( L = 0 < 1 \), то по признаку Даламбера данный ряд сходится.