Решение задачи: |AB+CB| в равностороннем треугольнике ABC

Дано: Треугольник ABC — равносторонний. Сторона треугольника равна \( a \). Найти: \( | \vec{AB} + \vec{CB} | \). Решение: 1. Для нахождения модуля суммы векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \) воспользуемся правилом параллелограмма. Однако удобнее сначала привести векторы к общему началу. Заметим, что вектор \( \vec{CB} \) равен вектору \( -\vec{BC} \). 2. Пусть \( \vec{AB} = \vec{c} \) и \( \vec{CB} = \vec{a} \). Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CB} \) в равностороннем треугольнике равен \( 60^\circ \), так как они направлены к одной вершине \( B \). 3. Модуль суммы двух векторов вычисляется по формуле: \[ |\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{CB}|^2 + 2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(\angle B)} \] 4. Подставим известные значения: \( |\vec{AB}| = a \) \( |\vec{CB}| = a \) \( \angle B = 60^\circ \) \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) 5. Выполним вычисления: \[ |\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2}} \] \[ |\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} \] \[ |\vec{AB} + \vec{CB}| = \sqrt{3a^2} \] \[ |\vec{AB} + \vec{CB}| = a\sqrt{3} \] Геометрически этот результат соответствует удвоенной медиане (высоте) треугольника, так как сумма векторов, выходящих из одной точки, является диагональю ромба, образованного этими векторами. Ответ: \( a\sqrt{3} \).