Решение задачи: Сумма трех последовательных чисел

Пусть три последовательных натуральных числа будут: \(n - 1\), \(n\) и \(n + 1\), где \(n\) — натуральное число. Найдем их сумму: \[S = (n - 1) + n + (n + 1) = 3n\] По условию задачи сумма \(S\) должна удовлетворять двум условиям: 1. Сумма больше 340: \(3n > 340\). 2. Сумма является квадратом натурального числа: \(3n = k^2\), где \(k\) — натуральное число. Так как \(3n = k^2\), то число \(k^2\) должно делиться на 3. Поскольку 3 — простое число, то и само число \(k\) должно делиться на 3. Пусть \(k = 3m\), тогда: \[3n = (3m)^2\] \[3n = 9m^2\] \[n = 3m^2\] Теперь подставим выражение для суммы \(S = 9m^2\) в неравенство: \[9m^2 > 340\] \[m^2 > \frac{340}{9}\] \[m^2 > 37,77...\] Найдем наименьшее натуральное \(m\), удовлетворяющее этому неравенству. Если \(m = 6\), то \(m^2 = 36\) (меньше 37,77). Если \(m = 7\), то \(m^2 = 49\) (больше 37,77). Следовательно, наименьшее значение \(m = 7\). Найдем наименьшее значение суммы \(S\): \[S = 9 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441\] Проверим условия: 1. \(441 > 340\) (верно). 2. \(441 = 21^2\) (является квадратом натурального числа). 3. \(441\) делится на 3 (\(441 : 3 = 147\)), значит существуют три последовательных числа: 146, 147 и 148. Ответ: 441.