Решение задачи: Сумма трех последовательных чисел - квадрат

Решение: Пусть три последовательных натуральных числа будут: \(n - 1\), \(n\) и \(n + 1\). 1. Найдем сумму этих чисел: \[S = (n - 1) + n + (n + 1) = 3n\] 2. По условию задачи сумма \(S\) должна быть квадратом некоторого натурального числа \(k\): \[3n = k^2\] Так как \(3n\) делится на 3, то и \(k^2\) должно делиться на 3. Поскольку 3 — простое число, то само число \(k\) также должно делиться на 3. Значит, \(k\) можно представить в виде \(3m\), где \(m\) — натуральное число. 3. Подставим \(k = 3m\) в уравнение: \[3n = (3m)^2\] \[3n = 9m^2\] \[S = 9m^2\] 4. Также по условию сумма должна быть больше 340: \[9m^2 > 340\] \[m^2 > \frac{340}{9}\] \[m^2 > 37,77...\] 5. Найдем наименьшее натуральное \(m\), квадрат которого больше 37,77: Если \(m = 6\), то \(m^2 = 36\) (не подходит). Если \(m = 7\), то \(m^2 = 49\) (подходит). 6. Вычислим наименьшее значение суммы \(S\) при \(m = 7\): \[S = 9 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441\] Проверка: Число 441 больше 340. Число 441 является квадратом натурального числа (\(21^2 = 441\)). Число 441 делится на 3 (\(441 : 3 = 147\)), значит, оно является суммой трех последовательных чисел: \(146 + 147 + 148 = 441\). Ответ: 441.