Решение задачи: Сумма трёх последовательных чисел больше 340

Решение: Пусть три последовательных натуральных числа будут: \(n - 1\), \(n\) и \(n + 1\). 1. Найдем сумму этих чисел: \[S = (n - 1) + n + (n + 1) = 3n\] Из этого выражения видно, что сумма трех последовательных чисел всегда делится на 3. 2. По условию сумма \(S\) является квадратом некоторого натурального числа \(k\): \[S = k^2\] Следовательно, \(k^2 = 3n\). Так как число \(3n\) делится на 3, то и \(k^2\) должно делиться на 3. Поскольку 3 — простое число, то само число \(k\) тоже должно делиться на 3. 3. Представим \(k\) как \(3m\), где \(m\) — натуральное число. Тогда сумма будет равна: \[S = (3m)^2 = 9m^2\] 4. По условию сумма больше 340: \[9m^2 > 340\] Разделим обе части на 9: \[m^2 > \frac{340}{9}\] \[m^2 > 37,77...\] 5. Найдем наименьшее натуральное число \(m\), квадрат которого больше 37,77: Если \(m = 6\), то \(m^2 = 36\) (мало). Если \(m = 7\), то \(m^2 = 49\) (подходит). 6. Вычислим наименьшее значение суммы \(S\) при \(m = 7\): \[S = 9 \cdot 7^2 = 9 \cdot 49 = 441\] Проверка: Число 441 больше 340. Число 441 является квадратом (\(21^2 = 441\)). Число 441 делится на 3 (\(441 : 3 = 147\)), значит, оно является суммой чисел 146, 147 и 148. Ответ: 441.