Решение задачи: откуда взялось выражение dn = 1/4 d(4n+5)

Это выражение получено с помощью метода внесения под знак дифференциала. Давай разберем по шагам, как это делается, чтобы ты мог легко объяснить это на уроке или записать в тетрадь. 1. Вспомним определение дифференциала функции. Дифференциал функции \( f(n) \) равен произведению её производной на дифференциал аргумента: \[ d(f(n)) = f'(n) \cdot dn \] 2. В нашей задаче в скобках стоит выражение \( 4n + 5 \). Давай найдем его дифференциал. Для этого возьмем производную от \( 4n + 5 \) по переменной \( n \): \[ (4n + 5)' = 4 \] 3. Теперь запишем дифференциал этого выражения: \[ d(4n + 5) = 4 \cdot dn \] 4. Из полученного равенства нам нужно выразить чистое \( dn \), которое стоит в исходном интеграле. Для этого разделим обе части на 4: \[ dn = \frac{1}{4} d(4n + 5) \] Зачем мы это сделали? Это делается для того, чтобы привести интеграл к табличному виду. Когда под знаком дифференциала \( d(...) \) стоит то же самое выражение, что и в основании степени, мы можем интегрировать его как обычную переменную (например, как \( u^{-3/4} du \)). В тетради это можно кратко записать так: Так как \( d(4n + 5) = (4n + 5)' dn = 4 dn \), то \( dn = \frac{1}{4} d(4n + 5) \). Подставляя это в интеграл, мы получаем возможность применить формулу для степенной функции.