Решение: Откуда взялось выражение dn = 1/4(4n+5)?

Важно не путать само выражение \( 4n + 5 \) и его дифференциал \( d(4n + 5) \). Равенство \( dn = \frac{1}{4} d(4n + 5) \) получается из правил взятия производной. Давай разберем это пошагово, как это принято записывать в математике: 1. Операция дифференцирования \( d \) — это нахождение производной функции, умноженной на приращение переменной. Если у нас есть функция \( u = 4n + 5 \), то её дифференциал вычисляется так: \[ d(u) = u' \cdot dn \] 2. Найдем производную нашего выражения по переменной \( n \): \[ (4n + 5)' = 4 \] Потому что производная от \( 4n \) равна 4, а производная от константы 5 равна 0. 3. Теперь подставим результат производной в формулу дифференциала: \[ d(4n + 5) = 4 \cdot dn \] 4. В исходном интеграле у нас стоит просто одинокое \( dn \). Чтобы понять, чему оно равно, нам нужно выразить его из уравнения выше. Мы просто переносим четверку в левую часть (делим на неё): \[ \frac{1}{4} d(4n + 5) = dn \] Или, если записать привычным образом: \[ dn = \frac{1}{4} d(4n + 5) \] В тетради это можно пояснить одной строчкой: Мы используем замену \( u = 4n + 5 \), тогда \( du = 4 dn \), следовательно \( dn = \frac{du}{4} \). Это стандартный прием в высшей математике, который позволяет подогнать выражение под табличный интеграл вида: \[ \int u^a du \] В твоем случае роль \( u \) играет всё выражение \( (4n + 5) \).