Решение задачи: подробный разбор шагов

Для того чтобы этот шаг был понятен и его было удобно переписать в тетрадь, давай разберем его максимально подробно. В математике есть правило: мы можем интегрировать функцию только по той переменной, которая стоит под знаком дифференциала \( d \). В нашем интеграле функция зависит от блока \( (4n + 5) \), а дифференциал стоит просто \( dn \). Нам нужно сделать так, чтобы под знаком \( d \) стояло то же самое, что и в скобках. Вот подробный математический вывод этого перехода: 1. Рассмотрим выражение, которое мы хотим видеть под знаком дифференциала: \[ u = 4n + 5 \] 2. Найдем производную этого выражения по переменной \( n \): \[ \frac{du}{dn} = (4n + 5)' \] \[ \frac{du}{dn} = 4 \] 3. Теперь, используя свойства дифференциала, выразим \( du \). Для этого перенесем \( dn \) в правую часть: \[ du = 4 \cdot dn \] То есть, дифференциал выражения \( (4n + 5) \) в 4 раза больше, чем дифференциал \( n \). Запишем это так: \[ d(4n + 5) = 4 \, dn \] 4. Но в нашем исходном интеграле никакой четверки перед \( dn \) нет. Там стоит просто \( dn \). Поэтому нам нужно выразить \( dn \) из предыдущего равенства. Поделим обе части на 4: \[ \frac{1}{4} d(4n + 5) = dn \] 5. Теперь мы можем заменить \( dn \) в интеграле на полученное выражение. Был интеграл: \[ \int (4n + 5)^{-3/4} dn \] Стал интеграл: \[ \int (4n + 5)^{-3/4} \cdot \frac{1}{4} d(4n + 5) \] 6. По правилам интегрирования, константу \( \frac{1}{4} \) можно вынести за знак интеграла (и за знак предела): \[ \frac{1}{4} \int (4n + 5)^{-3/4} d(4n + 5) \] Запись в тетрадь может выглядеть так: Для приведения интеграла к табличному виду \( \int u^a du \), внесем линейную функцию под знак дифференциала: \[ d(4n + 5) = (4n + 5)' dn = 4 dn \implies dn = \frac{1}{4} d(4n + 5) \] Подставим это в выражение под пределом: \[ I = \lim_{A \to \infty} \frac{1}{4} \int_{1}^{A} (4n + 5)^{-3/4} d(4n + 5) \]