Решение задачи 6.5 по гидравлике

Решим задачу 6.5, используя методику и формулы, приведенные в вашем образце. Обратите внимание, что в текстовом условии на первом фото было \(p = 105 \text{ кПа}\) и \(H = 12 \text{ м}\), а в примере решения на втором фото используются значения \(p = 100 \text{ кПа}\) и \(H = 10 \text{ м}\). Выполним расчет именно по вашим исходным данным (\(H = 12 \text{ м}\), \(p = 105 \text{ кПа}\)), следуя алгоритму из примера. Задача 6.5 Дано: \(H = 12 \text{ м}\) \(p = 105 \text{ кПа} = 105 \cdot 10^3 \text{ Па}\) \(x = 3,5 \text{ м}\) \(\varphi = 0,97\) \(\rho = 1000 \text{ кг/м}^3\) \(g = 9,81 \text{ м/с}^2\) Найти: \(h\) Решение: Уравнение струи имеет вид: \[x = 2 \cdot \varphi \cdot \sqrt{H_0 \cdot h}\] где \(H_0\) — напор истечения. Для данной задачи: \[H_0 = (H - h) + \frac{p}{\rho \cdot g}\] Тогда общее уравнение: \[x = 2 \cdot \varphi \cdot \sqrt{h \cdot \left( (H - h) + \frac{p}{\rho \cdot g} \right)}\] Возведем обе части уравнения в квадрат: \[x^2 = 4 \cdot \varphi^2 \cdot \left[ h \cdot (H - h) + \frac{p \cdot h}{\rho \cdot g} \right]\] Раскроем скобки и приведем к виду квадратного уравнения относительно \(h\): \[\frac{x^2}{4 \cdot \varphi^2} = H \cdot h - h^2 + \frac{p \cdot h}{\rho \cdot g}\] \[h^2 - h \cdot \left( H + \frac{p}{\rho \cdot g} \right) + \frac{x^2}{4 \cdot \varphi^2} = 0\] Подставим числовые значения: 1. Вычислим пьезометрическую высоту: \[\frac{p}{\rho \cdot g} = \frac{105 \cdot 10^3}{1000 \cdot 9,81} \approx 10,70 \text{ м}\] 2. Вычислим коэффициент при \(h\): \[H + \frac{p}{\rho \cdot g} = 12 + 10,70 = 22,70 \text{ м}\] 3. Вычислим свободный член: \[\frac{x^2}{4 \cdot \varphi^2} = \frac{3,5^2}{4 \cdot 0,97^2} = \frac{12,25}{3,7636} \approx 3,255 \text{ м}^2\] Получаем уравнение: \[h^2 - 22,70 \cdot h + 3,255 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c = (-22,70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3,255 = 515,29 - 13,02 = 502,27\] \[\sqrt{D} = \sqrt{502,27} \approx 22,41\] Находим корни: \[h_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 \cdot a} = \frac{22,70 \pm 22,41}{2}\] \[h_1 = \frac{22,70 + 22,41}{2} = \frac{45,11}{2} = 22,555 \text{ м}\] (Данный корень не подходит, так как высота отверстия не может быть больше глубины бака \(H = 12 \text{ м}\)). \[h_2 = \frac{22,70 - 22,41}{2} = \frac{0,29}{2} = 0,145 \text{ м}\] Ответ: Отверстие должно быть расположено на высоте \(h = 0,145 \text{ м}\) (или 14,5 см).