schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи по газодинамике: определение параметров косого скачка
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Таже задача, реши по такой аналогии Реши задачу: Почему с предыдущим решением не сходятся твои ответы?
lightbulbКраткий ответ
Решение задачи по газодинамике: найден угол косого скачка, число Маха за скачком и другие параметры потока при заданном угле отклонения и числе Маха до скачка.
Подробное решение
Задача 7.1
Дано:
\(\delta = 14^\circ\) — угол отклонения потока;
\(M_1 = 2,1\) — число Маха до скачка;
\(k = 1,3\) — показатель адиабаты газа.
Найти: \(\beta, M_2, \lambda_2, p_2/p_1, T_2/T_1, \rho_2/\rho_1\).
Решение:
1. Определим угол косого скачка \(\beta\). Связь между углами \(\beta\), \(\delta\) и числом \(M_1\) выражается формулой:
\[\tan \delta = 2 \cdot \cot \beta \cdot \frac{M_1^2 \cdot \sin^2 \beta - 1}{M_1^2 \cdot (k + \cos 2\beta) + 2}\]
Обычно для решения этого уравнения используют специальные таблицы или графики (номограммы). Для \(M_1 = 2,1\) и \(\delta = 14^\circ\) при \(k = 1,3\) значение угла скачка составляет:
\[\beta \approx 41^\circ\]
2. Найдем нормальную составляющую числа Маха перед скачком \(M_{1n}\):
\[M_{1n} = M_1 \cdot \sin \beta = 2,1 \cdot \sin 41^\circ \approx 2,1 \cdot 0,656 = 1,378\]
3. Найдем нормальную составляющую числа Маха после скачка \(M_{2n}\):
\[M_{2n}^2 = \frac{(k - 1) \cdot M_{1n}^2 + 2}{2 \cdot k \cdot M_{1n}^2 - (k - 1)} = \frac{(1,3 - 1) \cdot 1,378^2 + 2}{2 \cdot 1,3 \cdot 1,378^2 - (1,3 - 1)}\]
\[M_{2n}^2 = \frac{0,3 \cdot 1,899 + 2}{2,6 \cdot 1,899 - 0,3} = \frac{2,57}{4,637} \approx 0,554 \Rightarrow M_{2n} \approx 0,744\]
4. Определим число Маха после скачка \(M_2\):
\[M_2 = \frac{M_{2n}}{\sin(\beta - \delta)} = \frac{0,744}{\sin(41^\circ - 14^\circ)} = \frac{0,744}{\sin 27^\circ} \approx \frac{0,744}{0,454} \approx 1,64\]
5. Найдем приведенную скорость \(\lambda_2\):
\[\lambda_2^2 = \frac{(k + 1) \cdot M_2^2}{(k - 1) \cdot M_2^2 + 2} = \frac{2,3 \cdot 1,64^2}{0,3 \cdot 1,64^2 + 2} = \frac{6,186}{2,807} \approx 2,204 \Rightarrow \lambda_2 \approx 1,48\]
6. Вычислим отношения давлений, плотностей и температур:
Отношение давлений:
\[\frac{p_2}{p_1} = \frac{2 \cdot k \cdot M_{1n}^2 - (k - 1)}{k + 1} = \frac{2 \cdot 1,3 \cdot 1,378^2 - 0,3}{2,3} = \frac{4,637}{2,3} \approx 2,02\]
Отношение плотностей:
\[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(k + 1) \cdot M_{1n}^2}{(k - 1) \cdot M_{1n}^2 + 2} = \frac{2,3 \cdot 1,378^2}{0,3 \cdot 1,378^2 + 2} = \frac{4,368}{2,57} \approx 1,70\]
Отношение температур:
\[\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2} = 2,02 \cdot \frac{1}{1,70} \approx 1,19\]
Ответ: \(\beta \approx 41^\circ\); \(M_2 \approx 1,64\); \(\lambda_2 \approx 1,48\); \(p_2/p_1 \approx 2,02\); \(T_2/T_1 \approx 1,19\); \(\rho_2/\rho_1 \approx 1,70\).