Решение задачи 7.1: Косой скачок уплотнения

Для решения задачи 7.1 воспользуемся предоставленным графиком (рис. 7.2) и формулами газовой динамики для косого скачка уплотнения. Задача 7.1 Дано: \(M_1 = 2,1\) \(\delta = 14^\circ\) \(k = 1,3\) Найти: \(\beta, M_2, \lambda_2, p_2/p_1, T_2/T_1, \rho_2/\rho_1\). Решение: 1. Определение угла косого скачка \(\beta\) по графику (рис. 7.2). Сначала найдем приведенную скорость \(\lambda_1\), соответствующую \(M_1 = 2,1\): \[\lambda_1 = \sqrt{\frac{(k + 1) \cdot M_1^2}{(k - 1) \cdot M_1^2 + 2}} = \sqrt{\frac{2,3 \cdot 2,1^2}{0,3 \cdot 2,1^2 + 2}} = \sqrt{\frac{10,143}{3,323}} \approx 1,746\] На графике (рис. 7.2) находим кривую, соответствующую \(\lambda \approx 1,75\) (между линиями 1,6 и 1,8). При угле отклонения \(\delta = 14^\circ\) по горизонтальной оси получаем значение угла скачка: \[\beta \approx 42^\circ\] 2. Найдем нормальную составляющую числа Маха перед скачком \(M_{1n}\): \[M_{1n} = M_1 \cdot \sin \beta = 2,1 \cdot \sin 42^\circ \approx 2,1 \cdot 0,669 = 1,405\] 3. Найдем нормальную составляющую числа Маха после скачка \(M_{2n}\): \[M_{2n} = \sqrt{\frac{(k - 1) \cdot M_{1n}^2 + 2}{2 \cdot k \cdot M_{1n}^2 - (k - 1)}} = \sqrt{\frac{0,3 \cdot 1,405^2 + 2}{2,6 \cdot 1,405^2 - 0,3}} \approx \sqrt{\frac{2,592}{4,832}} \approx 0,732\] 4. Определим число Маха после скачка \(M_2\): \[M_2 = \frac{M_{2n}}{\sin(\beta - \delta)} = \frac{0,732}{\sin(42^\circ - 14^\circ)} = \frac{0,732}{\sin 28^\circ} \approx \frac{0,732}{0,469} \approx 1,56\] 5. Найдем приведенную скорость после скачка \(\lambda_2\): \[\lambda_2 = \sqrt{\frac{(k + 1) \cdot M_2^2}{(k - 1) \cdot M_2^2 + 2}} = \sqrt{\frac{2,3 \cdot 1,56^2}{0,3 \cdot 1,56^2 + 2}} \approx \sqrt{\frac{5,597}{2,730}} \approx 1,43\] 6. Вычислим отношения параметров: Отношение давлений: \[\frac{p_2}{p_1} = \frac{2 \cdot k \cdot M_{1n}^2 - (k - 1)}{k + 1} = \frac{2,6 \cdot 1,405^2 - 0,3}{2,3} \approx \frac{4,832}{2,3} \approx 2,10\] Отношение плотностей: \[\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(k + 1) \cdot M_{1n}^2}{(k - 1) \cdot M_{1n}^2 + 2} = \frac{2,3 \cdot 1,405^2}{0,3 \cdot 1,405^2 + 2} \approx \frac{4,540}{2,592} \approx 1,75\] Отношение температур: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2} = 2,10 \cdot \frac{1}{1,75} = 1,20\] Ответ: \(\beta \approx 42^\circ\); \(M_2 \approx 1,56\); \(\lambda_2 \approx 1,43\); \(p_2/p_1 \approx 2,10\); \(T_2/T_1 = 1,20\); \(\rho_2/\rho_1 \approx 1,75\).