Решение задачи 7.1 по газодинамике

Решим задачу 7.1, используя методику и формулы, представленные в вашем образце (с учетом специфических формул для \( \lambda_1 \) и \( M_2 \)). Задача 7.1 Дано: \( M_1 = 2,1 \) \( \delta = 14^\circ \) \( k = 1,3 \) \( R = 287 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)} \) Найти: \( \beta, M_2, \lambda_2, p_2/p_1, T_2/T_1, \rho_2/\rho_1 \). Решение: 1. Определим безразмерную скорость \( \lambda_1 \). Согласно вашему образцу, формула имеет вид: \[ \lambda_1 = \frac{M_1}{\sqrt{\frac{2}{k+1} \cdot (1 + \frac{M_1^2 \cdot k \cdot R}{2010})}} \] Подставим значения: \[ \lambda_1 = \frac{2,1}{\sqrt{\frac{2}{1,3+1} \cdot (1 + \frac{2,1^2 \cdot 1,3 \cdot 287}{2010})}} = \frac{2,1}{\sqrt{0,869 \cdot (1 + 0,818)}} = \frac{2,1}{\sqrt{1,58}} \approx 1,67 \] 2. По рисунку 7.2 при \( \delta = 14^\circ \) и \( \lambda_1 = 1,67 \) определяем угол скачка: \[ \beta \approx 43^\circ \] 3. Определяем безразмерную скорость потока \( M_2 \) после скачка по формуле из образца: \[ M_2^2 = \frac{M_1^2 + \frac{2}{k-1}}{\frac{2k}{k-1} M_1^2 \sin^2 \beta - 1} + \frac{M_1^2 \cos^2 \beta}{\frac{k-1}{2} M_1^2 \sin^2 \beta + 1} \] Вычислим вспомогательные значения: \( \sin 43^\circ \approx 0,682 \); \( \cos 43^\circ \approx 0,731 \). \[ M_1^2 \sin^2 \beta = 2,1^2 \cdot 0,682^2 \approx 4,41 \cdot 0,465 \approx 2,05 \] \[ M_2^2 = \frac{4,41 + 6,66}{8,66 \cdot 2,05 - 1} + \frac{4,41 \cdot 0,534}{0,15 \cdot 2,05 + 1} = \frac{11,07}{16,75} + \frac{2,35}{1,31} \approx 0,66 + 1,79 = 2,45 \] \[ M_2 = \sqrt{2,45} \approx 1,56 \] 4. Определяем скорость \( \lambda_2 \) из соотношения: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{k-1} \cdot \frac{1}{M_2^2} = \frac{k+1}{2(k-1)} \cdot \frac{1}{\lambda_2^2} \] \[ 0,5 + \frac{3,33}{2,45} = \frac{2,3}{0,6} \cdot \frac{1}{\lambda_2^2} \Rightarrow 1,86 = \frac{3,83}{\lambda_2^2} \Rightarrow \lambda_2^2 = 2,06 \Rightarrow \lambda_2 \approx 1,43 \] 5. Определяем отношения давлений, плотностей и температур: \[ \frac{p_2}{p_1} = \frac{k-1}{k+1} \cdot (\frac{2k}{k-1} M_1^2 \sin^2 \beta - 1) = \frac{0,3}{2,3} \cdot (8,66 \cdot 2,05 - 1) \approx 0,13 \cdot 16,75 \approx 2,18 \] \[ \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{k+1}{k-1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{k-1} \cdot \frac{1}{M_1^2 \sin^2 \beta} + 1} = \frac{2,3}{0,3} \cdot \frac{1}{\frac{6,66}{2,05} + 1} \approx 7,66 \cdot \frac{1}{4,25} \approx 1,80 \] \[ \frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{2,18}{1,80} \approx 1,21 \] Ответ: \( \beta = 43^\circ \); \( M_2 = 1,56 \); \( \lambda_2 = 1,43 \); \( p_2/p_1 = 2,18 \); \( \rho_2/\rho_1 = 1,80 \); \( T_2/T_1 = 1,21 \).