Задача:
Определить напряжения в каждом участке стержня, закрепленного с одного конца и нагруженного сосредоточенными силами.Дано:
Силы:
- \(F_1 = 9 \, \text{кН}\)
- \(F_2 = 8 \, \text{кН}\)
- \(F_3 = 5 \, \text{кН}\)
Площади поперечного сечения:
- \(A_1 = 110 \, \text{мм}^2\)
- \(A_2 = 140 \, \text{мм}^2\)
Длины участков:
- Первый участок (от заделки до \(F_3\)): \(L_1 = 1 \, \text{м}\)
- Второй участок (от \(F_3\) до \(F_2\)): \(L_2 = 4 \, \text{м}\)
- Третий участок (от \(F_2\) до \(F_1\)): \(L_3 = 6 \, \text{м}\)
Решение:
Для решения задачи необходимо определить внутренние продольные силы в каждом участке стержня, а затем вычислить напряжения, используя формулу для нормального напряжения:
\[\sigma = \frac{N}{A}\]где \(N\) - внутренняя продольная сила, \(A\) - площадь поперечного сечения.
1. Определим внутренние продольные силы в каждом участке.
Для этого воспользуемся методом сечений. Разрежем стержень на три участка и рассмотрим равновесие отсеченных частей.
Участок I (от заделки до \(F_3\)):
Рассмотрим участок от заделки до точки приложения силы \(F_3\). Для определения внутренней силы \(N_1\) в этом участке, рассмотрим равновесие правой части стержня, отсеченной в пределах этого участка. Удобнее рассматривать равновесие правой части, так как она содержит все приложенные силы.
Сумма всех сил, действующих на правую часть стержня, должна быть равна нулю. Силы, направленные вправо, будем считать положительными, влево - отрицательными.
\[N_1 - F_3 - F_2 + F_1 = 0\] \[N_1 = F_3 + F_2 - F_1\] \[N_1 = 5 \, \text{кН} + 8 \, \text{кН} - 9 \, \text{кН}\] \[N_1 = 13 \, \text{кН} - 9 \, \text{кН}\] \[N_1 = 4 \, \text{кН}\]Поскольку \(N_1\) получилось положительным, это означает, что в первом участке действует растягивающая сила.
Участок II (от \(F_3\) до \(F_2\)):
Рассмотрим участок между точками приложения сил \(F_3\) и \(F_2\). Отсечем стержень в пределах этого участка и рассмотрим равновесие правой части.
\[N_2 - F_2 + F_1 = 0\] \[N_2 = F_2 - F_1\] \[N_2 = 8 \, \text{кН} - 9 \, \text{кН}\] \[N_2 = -1 \, \text{кН}\]Поскольку \(N_2\) получилось отрицательным, это означает, что во втором участке действует сжимающая сила.
Участок III (от \(F_2\) до \(F_1\)):
Рассмотрим участок между точками приложения сил \(F_2\) и \(F_1\). Отсечем стержень в пределах этого участка и рассмотрим равновесие правой части.
\[N_3 + F_1 = 0\] \[N_3 = -F_1\] \[N_3 = -9 \, \text{кН}\]Поскольку \(N_3\) получилось отрицательным, это означает, что в третьем участке действует сжимающая сила.
2. Вычислим напряжения в каждом участке.
Перед вычислениями переведем все величины в СИ. Силы уже в кН, площади в мм\(^2\). Удобнее перевести кН в Н, а мм\(^2\) в м\(^2\).
\(1 \, \text{кН} = 1000 \, \text{Н}\)
\(1 \, \text{мм}^2 = 10^{-6} \, \text{м}^2\)
Напряжение в Участке I:
Участок I имеет площадь поперечного сечения \(A_2\).
\[\sigma_1 = \frac{N_1}{A_2}\] \[\sigma_1 = \frac{4 \, \text{кН}}{140 \, \text{мм}^2} = \frac{4 \cdot 10^3 \, \text{Н}}{140 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2}\] \[\sigma_1 = \frac{4000 \, \text{Н}}{140 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} \approx 28.57 \cdot 10^6 \, \text{Па} = 28.57 \, \text{МПа}\]Так как \(N_1\) - растягивающая сила, то \(\sigma_1\) - растягивающее напряжение.
Напряжение в Участке II:
Участок II также имеет площадь поперечного сечения \(A_2\).
\[\sigma_2 = \frac{N_2}{A_2}\] \[\sigma_2 = \frac{-1 \, \text{кН}}{140 \, \text{мм}^2} = \frac{-1 \cdot 10^3 \, \text{Н}}{140 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2}\] \[\sigma_2 = \frac{-1000 \, \text{Н}}{140 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} \approx -7.14 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -7.14 \, \text{МПа}\]Так как \(N_2\) - сжимающая сила, то \(\sigma_2\) - сжимающее напряжение.
Напряжение в Участке III:
Участок III имеет площадь поперечного сечения \(A_1\).
\[\sigma_3 = \frac{N_3}{A_1}\] \[\sigma_3 = \frac{-9 \, \text{кН}}{110 \, \text{мм}^2} = \frac{-9 \cdot 10^3 \, \text{Н}}{110 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2}\] \[\sigma_3 = \frac{-9000 \, \text{Н}}{110 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2} \approx -81.82 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -81.82 \, \text{МПа}\]Так как \(N_3\) - сжимающая сила, то \(\sigma_3\) - сжимающее напряжение.
Ответ:
Напряжения в участках стержня составляют:
- В первом участке: \(\sigma_1 \approx 28.57 \, \text{МПа}\) (растяжение)
- Во втором участке: \(\sigma_2 \approx -7.14 \, \text{МПа}\) (сжатие)
- В третьем участке: \(\sigma_3 \approx -81.82 \, \text{МПа}\) (сжатие)