Решение задачи: Кинетическая энергия и работа переменной силы

Дано: m = 5 кг \( F_x = 6 - 2x + 3x^2 \) (Н) \( v_0 = 2 \) м/с \( x_1 = 2 \) м \( x_2 = 8 \) м \( y_1 = 2 \), \( y_2 = 2 \) (движение вдоль оси OX) Найти: \( v \) — ? Решение: Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела: \[ A = \Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} \] Так как сила зависит от координаты \( x \), работа переменной силы вычисляется через интеграл: \[ A = \int_{x_1}^{x_2} F_x dx \] Подставим выражение для силы и вычислим интеграл: \[ A = \int_{2}^{8} (6 - 2x + 3x^2) dx = [6x - x^2 + x^3] \Big|_2^8 \] Вычислим значение в верхнем и нижнем пределах: Для \( x = 8 \): \( 6 \cdot 8 - 8^2 + 8^3 = 48 - 64 + 512 = 496 \) Для \( x = 2 \): \( 6 \cdot 2 - 2^2 + 2^3 = 12 - 4 + 8 = 16 \) Работа равна: \[ A = 496 - 16 = 480 \text{ Дж} \] Теперь выразим конечную скорость из формулы кинетической энергии: \[ \frac{mv^2}{2} = A + \frac{mv_0^2}{2} \] \[ v^2 = \frac{2A}{m} + v_0^2 \] \[ v = \sqrt{\frac{2A}{m} + v_0^2} \] Подставим числовые значения: \[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 480}{5} + 2^2} \] \[ v = \sqrt{\frac{960}{5} + 4} \] \[ v = \sqrt{192 + 4} = \sqrt{196} = 14 \text{ м/с} \] Ответ: v = 14 м/с.