Решение задачи: Первый признак подобия треугольника

Задача 1 Дано: \( \triangle ABC \), \( \triangle A_1B_1C_1 \) \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \) \( A_1B_1 = 4 \), \( B_1C_1 = 3 \), \( C_1A_1 = 2 \) \( AB = 12 \) Найти: \( BC \), \( CA \) Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \). По условию задачи: \( \angle A = \angle A_1 \) \( \angle B = \angle B_1 \) Следовательно, \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} \] 3. Найдем коэффициент подобия \( k \), используя известные стороны \( AB \) и \( A_1B_1 \): \[ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{4} = 3 \] 4. Используя коэффициент подобия, найдем сторону \( BC \): \[ \frac{BC}{B_1C_1} = 3 \implies BC = 3 \cdot B_1C_1 \] \[ BC = 3 \cdot 3 = 9 \] 5. Найдем сторону \( CA \): \[ \frac{CA}{C_1A_1} = 3 \implies CA = 3 \cdot C_1A_1 \] \[ CA = 3 \cdot 2 = 6 \] Ответ: \( BC = 9 \), \( CA = 6 \).