Теорема об эквивалентности двух систем сил. Доказательство

Теорема об эквивалентности двух систем сил Две системы сил называются эквивалентными, если они имеют одинаковые главные векторы и одинаковые главные моменты относительно одного и того же произвольно выбранного центра. Формулировка теоремы: Для того чтобы две системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы их главные векторы и главные моменты относительно любого центра были соответственно равны. Пусть первая система сил состоит из сил \( \vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n \), а вторая — из сил \( \vec{F}'_1, \vec{F}'_2, \dots, \vec{F}'_m \). Условия эквивалентности: 1. Равенство главных векторов: \[ \vec{R} = \vec{R}' \] где \[ \vec{R} = \sum \vec{F}_i, \quad \vec{R}' = \sum \vec{F}'_j \] 2. Равенство главных моментов относительно центра O: \[ \vec{M}_O = \vec{M}'_O \] где \[ \vec{M}_O = \sum \vec{m}_O(\vec{F}_i), \quad \vec{M}'_O = \sum \vec{m}_O(\vec{F}'_j) \] Доказательство: 1. Необходимость. Если системы сил эквивалентны, то по определению они оказывают на твердое тело одинаковое механическое воздействие. Следовательно, при замене одной системы другой состояние тела не изменится. Это возможно только в том случае, если их основные динамические характеристики (главный вектор и главный момент) совпадают. 2. Достаточность. Согласно основной теореме статики (теореме Вариньона-Пуансо), любую систему сил можно привести к одной силе (главному вектору \( \vec{R} \)), приложенной в центре O, и одной паре сил с моментом, равным главному моменту \( \vec{M}_O \). Если у двух систем сил: \[ \vec{R} = \vec{R}' \quad \text{и} \quad \vec{M}_O = \vec{M}'_O \] то обе системы приводятся к одному и тому же вектору и одной и той же паре сил в данном центре. Следовательно, они оказывают одинаковое действие на тело и являются эквивалентными. Вывод: Для эквивалентности систем сил необходимо и достаточно выполнение шести скалярных уравнений (равенство проекций главных векторов и главных моментов на оси координат): \[ R_x = R'_x, \quad R_y = R'_y, \quad R_z = R'_z \] \[ M_x = M'_x, \quad M_y = M'_y, \quad M_z = M'_z \]