Решение задачи по теории вероятности: Вариант 3

Ниже представлено решение задач Варианта 3, оформленное для записи в тетрадь. Вариант 3 Задача 1. Комбинаторика. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать делегацию из 3 человек? Решение: Так как порядок выбора людей в делегацию не важен, используем формулу сочетаний из \( n \) по \( k \): \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Где \( n = 15 \), \( k = 3 \). \[ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 13 \cdot 7 \cdot 5 = 455 \] Ответ: 455 способами. Задача 2. Классическая вероятность. Наугад выбрано двузначное число. Какова вероятность, что оно делится на 11? Решение: 1. Общее количество двузначных чисел (от 10 до 99): \[ n = 99 - 10 + 1 = 90 \] 2. Числа, делящиеся на 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Их количество: \[ m = 9 \] 3. Вероятность: \[ P = \frac{m}{n} = \frac{9}{90} = 0,1 \] Ответ: 0,1. Задача 3. Теорема сложения. Вероятность одного события 0.4, другого – 0.7. События независимы. Найдите вероятность того, что наступит хотя бы одно из них. Решение: Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий \( A \) и \( B \) вычисляется по формуле: \[ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B) \] \[ P = 0,4 + 0,7 - (0,4 \cdot 0,7) = 1,1 - 0,28 = 0,82 \] Ответ: 0,82. Задача 4. Теорема умножения. В ящике 5 красных и 3 синих карандаша. Наудачу вынимают два карандаша. Какова вероятность, что они разного цвета? Решение: Событие "разного цвета" означает, что первый красный, а второй синий, ИЛИ первый синий, а второй красный. Общее количество карандашей: \( 5 + 3 = 8 \). \[ P = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0,536 \] Ответ: 15/28. Задача 5. Формула полной вероятности. В магазин поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 2:3:5. Вероятность брака для них 0.1, 0.05 и 0.03 соответственно. Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор исправен. Решение: 1. Вероятности того, что телевизор от конкретного поставщика: \[ P(H_1) = \frac{2}{2+3+5} = 0,2; \quad P(H_2) = 0,3; \quad P(H_3) = 0,5 \] 2. Вероятности того, что телевизор исправен (событие \( A \)): \[ P(A|H_1) = 1 - 0,1 = 0,9 \] \[ P(A|H_2) = 1 - 0,05 = 0,95 \] \[ P(A|H_3) = 1 - 0,03 = 0,97 \] 3. По формуле полной вероятности: \[ P(A) = 0,2 \cdot 0,9 + 0,3 \cdot 0,95 + 0,5 \cdot 0,97 = 0,18 + 0,285 + 0,485 = 0,95 \] Ответ: 0,95. Задача 6. Формула Бернулли. Стрелок делает 4 выстрела. Вероятность попадания 0.6. Найти вероятность \( P(X \ge 2) \). Решение: \[ P(X \ge 2) = 1 - (P(0) + P(1)) \] Используем формулу Бернулли \( P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} \), где \( n=4, p=0,6, q=0,4 \): \[ P(0) = C_4^0 \cdot 0,6^0 \cdot 0,4^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,0256 = 0,0256 \] \[ P(1) = C_4^1 \cdot 0,6^1 \cdot 0,4^3 = 4 \cdot 0,6 \cdot 0,064 = 0,1536 \] \[ P(X \ge 2) = 1 - (0,0256 + 0,1536) = 1 - 0,1792 = 0,8208 \] Ответ: 0,8208. Задача 7. Дискретная СВ. Монету бросают 3 раза. \( X \) – количество гербов. Составьте закон распределения. Решение: Возможные значения \( X \): 0, 1, 2, 3. Вероятность выпадения герба \( p = 0,5 \), \( q = 0,5 \). \[ P(0) = C_3^0 \cdot 0,5^3 = 0,125 \] \[ P(1) = C_3^1 \cdot 0,5^1 \cdot 0,5^2 = 3 \cdot 0,125 = 0,375 \] \[ P(2) = C_3^2 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = 3 \cdot 0,125 = 0,375 \] \[ P(3) = C_3^3 \cdot 0,5^3 = 0,125 \] Закон распределения: X: 0; 1; 2; 3 P: 0,125; 0,375; 0,375; 0,125 Задача 8. Непрерывная СВ. \( X \) распределена равномерно на [2, 7]. Найдите \( M(X) \) и \( D(X) \). Решение: Для равномерного распределения на \( [a, b] \): \[ M(X) = \frac{a+b}{2} = \frac{2+7}{2} = 4,5 \] \[ D(X) = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{(7-2)^2}{12} = \frac{25}{12} \approx 2,083 \] Ответ: \( M(X) = 4,5 \); \( D(X) \approx 2,083 \). Задача 9. Выборочный метод. По выборке 3, 5, 5, 7, 8 постройте вариационный ряд. Решение: Вариационный ряд — это последовательность элементов выборки, расположенных в порядке неубывания. Ответ: 3, 5, 5, 7, 8. Задача 10. Критерий Пирсона. Что такое число степеней свободы в критерии Пирсона? Ответ: Число степеней свободы \( f \) в критерии согласия Пирсона \( \chi^2 \) определяется как разность между количеством групп (категорий) выборки \( k \) и количеством ограничений, наложенных на частоты. При проверке соответствия эмпирического распределения теоретическому формула имеет вид: \[ f = k - r - 1 \] где \( k \) — число интервалов (групп), а \( r \) — число параметров теоретического распределения, оцененных по выборке.