Решение задачи: Сумма бесконечного ряда

Для решения данной задачи необходимо вычислить сумму бесконечного числового ряда. Разложим общий член ряда на простейшие дроби: \[ \frac{1}{n(n+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \] Тогда исходное выражение примет вид: \[ 36 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+3)} = 36 \cdot \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) = 12 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \] Распишем частичную сумму ряда. Заметим, что большинство слагаемых сократятся (телескопический ряд): \[ S = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \dots \] После сокращения останутся только первые три положительных члена: \[ S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6} \] Теперь умножим полученную сумму на коэффициент перед знаком суммы: \[ 12 \cdot \frac{11}{6} = 2 \cdot 11 = 22 \] Ответ: 22