Решение задачи на сходимость ряда

Для того чтобы определить, какой из рядов сходится, проанализируем каждый вариант: 1. Рассмотрим первый ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}(\sqrt{n} - \sqrt{n+2}) \] Умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное \( (\sqrt{n} + \sqrt{n+2}) \): \[ a_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+2})(\sqrt{n} + \sqrt{n+2})}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n - (n+2)}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} = \frac{-2}{n(\sqrt{n} + \sqrt{n+2})} \] При больших \( n \) общий член ряда ведет себя как: \[ |a_n| \approx \frac{2}{n \cdot 2\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}} \] Так как это обобщенный гармонический ряд с показателем \( p = 3/2 > 1 \), данный ряд сходится. 2. Рассмотрим второй ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} (\sqrt{n} - \sqrt{n+2}) \] Используя тот же метод сопряженного: \[ a_n = \frac{-2}{\sqrt{n} + \sqrt{n+2}} \approx \frac{-2}{2\sqrt{n}} = -\frac{1}{n^{1/2}} \] Здесь \( p = 1/2 \le 1 \), следовательно, ряд расходится. 3. Рассмотрим третий ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n+2)!}{(n-1)!} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n+1)(n+2) \] Общий член ряда стремится к бесконечности при \( n \to \infty \). Не выполняется необходимый признак сходимости, ряд расходится. Ответ: Сходится первый ряд: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}(\sqrt{n} - \sqrt{n+2}) \]