Решение задачи о средней линии в кубе

Задача №2 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб. \(M\) — середина \(A_1B\). \(K\) — середина \(AC\). Решение: 1. Рассмотрим треугольник \(A_1BC\). 2. Точка \(M\) является серединой стороны \(A_1B\) по условию. 3. Точка \(K\) является серединой стороны \(AC\) по условию. 4. Следовательно, отрезок \(MK\) является средней линией треугольника \(A_1BC\). 5. По свойству средней линии треугольника, \(MK \parallel A_1C\). 6. Прямая \(A_1C\) целиком лежит в плоскости диагонального сечения \(AA_1C_1C\). Однако среди предложенных вариантов такой плоскости нет. 7. Проверим параллельность \(MK\) плоскости \(BB_1D_1D\). Заметим, что вектор \(\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{A_1C}\). Вектор \(\vec{A_1C} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1} + \vec{C_1C}\). Ни один из векторов сторон не параллелен указанным плоскостям так, чтобы обеспечить параллельность всей прямой \(MK\) плоскостям из пунктов 1 или 3. 8. Прямая \(MK\) (или \(A_1C\)) пересекает плоскость \(BB_1C_1C\) в точке \(C\), а плоскость \(DD_1C_1C\) также в точке \(C\). Значит, она не может быть им параллельна. 9. Плоскость \(BB_1D_1D\) также пересекается прямой \(A_1C\) в центре куба. Таким образом, прямая \(MK\) не параллельна ни одной из указанных плоскостей. Ответ: 4) ни одной из указанных.