Исходные данные:
- геометрические параметры магнитопровода: \(L_1 = 50\) мм; \(L_2 = 20\) мм; \(a_1 = 5\) мм; \(a_2 = 3\) мм; \(a_3 = 4\) мм; \(\delta = 0,1\) мм;
- диаметр провода обмотки \(d = 0,8\) мм;
- сила тяги пружины \(F = 12\) Н;
- кривая намагничивания подвижной части магнитопровода задана табл. 2.1.1;
- кривая намагничивания неподвижной части магнитопровода задана рис. 2.4.
Решение
1. Определим недостающие геометрические параметры магнитопровода.
Средняя длина подвижной части магнитопровода:
\[L_3 = L_1 + a_3 = 50 + 4 = 54 \text{ мм}\]Площади поперечных сечений магнитопровода:
\[S_1 = a_1 a_3 = 5 \cdot 4 = 20 \text{ мм}^2;\] \[S_2 = a_2 a_3 = 3 \cdot 4 = 12 \text{ мм}^2;\] \[S_3 = a_3 a_3 = 4 \cdot 4 = 16 \text{ мм}^2;\] \[S_\delta = S_2 = 12 \text{ мм}^2.\]Гарантированное притягивание подвижной части магнитопровода к неподвижной произойдет при силе тяги электромагнита, превышающей силу тяги пружины.
Сила тяги электромагнита \(F = \frac{B_\delta^2}{2\mu_0} S_\delta\),
где \(B_\delta\) – индукция в воздушном зазоре площадью \(S_\delta\).
Таким образом, требуемая минимальная индукция воздушного зазора,
\[B_\delta = \sqrt{\frac{2\mu_0 F}{S_\delta}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 12}{12 \cdot 10^{-6}}} = 1,585 \text{ Тл}.\]Магнитный поток воздушного зазора
\[\Phi_\delta = B_\delta S_\delta = 1,585 \cdot 12 \cdot 10^{-6} = 19 \text{ мкВб}.\]При пренебрежении магнитными потоками рассеяния выполняется условие постоянства магнитного потока во всех элементах магнитопровода, который равен магнитному потоку в воздушном зазоре.
Исходя из условия \(\Phi = \text{const}\), величины магнитных индукций в ферромагнитных элементах магнитопровода определим как:
\[B_1 = \Phi_\delta / S_1 = 19 \cdot 10^{-6} / (20 \cdot 10^{-6}) = 0,95 \text{ Тл};\] \[B_2 = \Phi_\delta / S_2 = 19 \cdot 10^{-6} / (12 \cdot 10^{-6}) = 1,585 \text{ Тл};\] \[B_3 = \Phi_\delta / S_3 = 19 \cdot 10^{-6} / (16 \cdot 10^{-6}) = 1,1875 \text{ Тл}.\]По кривой намагничивания неподвижного магнитопровода определяем значения напряженностей магнитного поля, соответствующие определенным индукциям на участках магнитной цепи (рис. 8.2).
Таким образом, \(H_1 = 7700\) А/м; \(H_2 = 15500\) А/м.
Напряженность магнитного поля в подвижной части магнитопровода определяем по табл. 2.1.1. При этом зависимость напряженности от индукции магнитного поля между значениями двух соседних столбцов таблицы можно считать линейной:
\[H = c_1 + c_2 B.\]Коэффициенты \(c_1\) и \(c_2\) определим, решив систему:
\[\begin{cases} H_3 = c_1 + c_2 B_3 \\ H_4 = c_1 + c_2 B_4 \end{cases}\]где \(H_3 = 400\) А/м; \(H_4 = 1200\) А/м; \(B_3 = 1,15\) Тл; \(B_4 = 1,4\) Тл.
Тогда:
\[c_2 = \frac{H_3 - H_4}{B_3 - B_4} = \frac{400 - 1200}{1,15 - 1,4} = 3200;\] \[c_1 = H_3 - c_2 B_3 = 400 - 3200 \cdot 1,15 = -3280.\]Напряженность магнитного поля в подвижной части магнитопровода определим как
\[H_3 = -3280 + 3200 \cdot 1,1875 = 520 \text{ А/м}.\]Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре
\[H_\delta = \frac{B_\delta}{\mu_0} = \frac{1,585}{4\pi \cdot 10^{-7}} = 1261303 \text{ А/м}.\]Запишем закон полного тока для рассматриваемой магнитной цепи, образованной магнитопроводами с обмоткой, разделенными воздушным зазором.
\[IW = 2H_\delta \delta + H_1 L_1 + 2H_2 L_2 + H_3 L_3.\]Таким образом, требуемая МДС
\[IW = (2 \cdot 1261303 \cdot 0,1 + 7700 \cdot 50 + 2 \cdot 15500 \cdot 20 + 520 \cdot 54) \cdot 10^{-3} = 1285 \text{ А}.\]Поперечное сечение провода обмотки диаметром 0,8 мм
\[S_{\text{пр}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{0,8}{2}\right)^2 = 0,5 \text{ мм}^2.\]Номинальный ток обмотки
\[I = J S_{\text{пр}} = 2,5 \cdot 0,5 = 1,25 \text{ А}.\]Требуемое число витков обмотки
\[W_{\text{тр}} = \frac{IW}{I} = \frac{1285}{1,25} = 1028.\]Принимаем большее целое значение числа витков \(W = 1030\).
Длина провода обмотки определяется как произведение длины одного витка на количество витков с учетом 20% технологического запаса:
\[L_{\text{пр}} = 4 a_1 W K_y = 4 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 1030 \cdot 1,2 = 24,72 \text{ м}.\]Сопротивление обмотки \(R = \rho \frac{L_{\text{пр}}}{S_{\text{пр}}} = 0,018 \frac{24,72}{0,5} = 0,9 \text{ Ом}.\]
Минимальное требуемое напряжение на обмотке определяем по закону Ома
\[U = IR = 1,25 \cdot 0,9 = 1,125 \text{ В}.\]Таким образом, гарантированное притягивание подвижной части магнитопровода к неподвижной будет происходить, если на магнитопроводе выполнить обмотку из 1030 витков медного провода диаметром 0,8 мм и подключить ее к источнику ЭДС величиной 1,2 В.
2. Гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной произойдет при силе тяги пружины, превышающей силу тяги электромагнита.
Так как сила тяги пружины не зависит от ее длины, а сила тяги электромагнита не зависит от размера воздушного зазора, то критические значения индукций и напряженностей магнитного поля в различных элементах рассматриваемой магнитной цепи равняются определенным в п.1 значениям.
Запишем закон полного тока для рассматриваемой магнитной цепи, образованной магнитопроводами с обмоткой при отсутствии воздушного зазора
\[IW = H_1 L_1 + 2H_2 L_2 + H_3 L_3.\]Минимальная МДС, при которой сохраняется притяжение подвижной части магнитопровода к неподвижной,
\[IW = (7700 \cdot 50 + 2 \cdot 15500 \cdot 20 + 520 \cdot 54) \cdot 10^{-3} = 1033 \text{ А}.\]Минимальный ток обмотки
\[I_{\text{min}} = \frac{IW}{W} = \frac{1033}{1030} = 1,003 \text{ А}.\]Напряжение на обмотке, соответствующее минимальному току, определяем по закону Ома
\[U = I_{\text{min}} R = 1,003 \cdot 0,9 = 0,903 \text{ В}.\]Таким образом гарантированное отпускание подвижной части магнитопровода от неподвижной будет происходить при уменьшении напряжения, питающего обмотки ниже величины 0,9 В.