Южно-Уральский Государственный Университет
Кафедра физики наноразмерных систем
Лабораторная работа № 2
ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Выполнил(а) ____________________
гр. ____________________
«___» ____________ 20__ г.
Проверил ____________________
«___» ____________ 20__ г.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Исследовать соударение тел, проверить выполнение законов сохранения импульса и энергии, оценить погрешность опытов.
СХЕМА УСТАНОВКИ:
На рисунке 1 показана схема установки для изучения соударения тел. Тело 1 (ударник) движется по направляющей, ударяет тело 2 (мишень), которое изначально покоится. После удара оба тела движутся. На рисунке 2 показана система координат, в которой фиксируются положения тел до и после взаимодействия.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Скорость тела перед ударом (или после удара) можно определить, измерив расстояние, которое оно проходит за определенное время. В данной работе, судя по формулам, скорость определяется через пройденный путь и, возможно, время, или же через энергию, полученную при падении с высоты (если \(l\) - это высота, а \(g\) - ускорение свободного падения).
Формулы для расчетов:
Скорость: \(v = \sqrt{2gl}\) (если \(l\) - это высота, с которой падает тело, или длина пути, по которому тело разгоняется под действием силы тяжести, а \(g\) - ускорение свободного падения).
Начальный путь (до удара): \(l_0 = \Delta x = x - x_{01}\)
Путь первого тела после удара: \(l_1 = \sqrt{(x_1 - x_{01})^2 + (y_1 - y_{01})^2}\)
Путь второго тела после удара: \(l_2 = \sqrt{(x_2 - x_{02})^2 + (y_2 - y_{02})^2}\)
Здесь:
- \(x_{01}, y_{01}\) - начальные координаты первого тела.
- \(x_{02}, y_{02}\) - начальные координаты второго тела.
- \(x, y\) - координаты первого тела перед ударом.
- \(x_1, y_1\) - координаты первого тела после удара.
- \(x_2, y_2\) - координаты второго тела после удара.
Импульс до удара (вектор): \(\vec{P_0} = m_1 \vec{v_0}\)
Импульс после удара (вектор): \(\vec{P} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2}\)
Для проверки закона сохранения импульса, нужно сравнить импульс системы до и после взаимодействия. В данном случае, судя по таблице, рассматриваются проекции импульса на оси X и Y.
Импульс до удара вдоль оси X: \(P_{0x} = m_1 \sqrt{l_0}\) (предполагается, что \(v_0 \sim \sqrt{l_0}\) и движение до удара происходит вдоль оси X)
Импульс до удара вдоль оси Y: \(P_{0y} = 0\) (так как движение до удара происходит вдоль оси X)
Импульс после удара вдоль оси X: \(P_{x} = m_1 \frac{\Delta x_1}{\sqrt{l_1}} + m_2 \frac{\Delta x_2}{\sqrt{l_2}}\) (здесь \(\frac{\Delta x}{\sqrt{l}}\) пропорционально проекции скорости на ось X)
Импульс после удара вдоль оси Y: \(P_{y} = m_1 \frac{\Delta y_1}{\sqrt{l_1}} + m_2 \frac{\Delta y_2}{\sqrt{l_2}}\) (здесь \(\frac{\Delta y}{\sqrt{l}}\) пропорционально проекции скорости на ось Y)
Полный импульс до удара: \(P_0 = \sqrt{(P_{0x})^2 + (P_{0y})^2}\)
Полный импульс после удара: \(P = \sqrt{(P_{x})^2 + (P_{y})^2}\)
Относительное отклонение для импульса: \(\frac{|P_0 - P|}{P_0}\)
Энергия до удара: \(E_0 = m_1 l_0\) (предполагается, что энергия пропорциональна \(m \cdot l\), что может быть связано с кинетической энергией, если \(l\) пропорционально квадрату скорости, или потенциальной энергией, если \(l\) - высота)
Энергия после удара: \(E = m_1 l_1 + m_2 l_2\)
Коэффициент восстановления: \(\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)}{m_1 l_0}\)
Оценка погрешности измерений:
Доверительная вероятность: \(P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{N-1}\)
Здесь \(N\) - количество измерений.
Давайте заполним таблицы на примере. Для этого нам нужны конкретные данные измерений. Поскольку их нет, я покажу, как заполнять таблицы, используя условные значения.
Таблица 1. Определение пути тел до и после соударения
| Начальные координаты и массы тел | \(m_1\) = 0.05 (кг) | \(m_2\) = 0.05 (кг) | |||||
| \(x_{01}\) = 10 (мм) | \(x_{02}\) = 20 (мм) | ||||||
| \(y_{01}\) = 0 (мм) | \(y_{02}\) = 0 (мм) | ||||||
| при свободном движении | Конечные координаты тел после взаимодействия | ||||||
| №№ | \(x\), мм | \(x_1\), мм | \(y_1\), мм | \(x_2\), мм | \(y_2\), мм | ||
| 1 | 15 | 18 | 2 | 25 | -3 | ||
| 2 | 16 | 19 | 1 | 26 | -2 | ||
| 3 | 15 | 18 | 3 | 24 | -4 | ||
| 4 | 16 | 19 | 2 | 25 | -3 | ||
| 5 | 15 | 18 | 1 | 26 | -2 | ||
| 6 | 16 | 19 | 3 | 24 | -4 | ||
| 7 | 15 | 18 | 2 | 25 | -3 | ||
| Среднее | \(\bar{x}\) = 15.43 | \(\bar{x_1}\) = 18.43 | \(\bar{y_1}\) = 2 | \(\bar{x_2}\) = 25 | \(\bar{y_2}\) = -3 | ||
| Приращение координаты \(\Delta\) | \(\Delta x = \bar{x} - x_{01}\) = 5.43 | \(\Delta x_1 = \bar{x_1} - x_{01}\) = 8.43 | \(\Delta y_1 = \bar{y_1} - y_{01}\) = 2 | \(\Delta x_2 = \bar{x_2} - x_{02}\) = 5 | \(\Delta y_2 = \bar{y_2} - y_{02}\) = -3 | ||
| Расстояние | \(l_0 = \Delta x\) = 5.43 | \(l_1 = \sqrt{(\Delta x_1)^2 + (\Delta y_1)^2}\) = \(\sqrt{(8.43)^2 + (2)^2}\) = \(\sqrt{71.06 + 4}\) = \(\sqrt{75.06}\) = 8.66 | \(l_2 = \sqrt{(\Delta x_2)^2 + (\Delta y_2)^2}\) = \(\sqrt{(5)^2 + (-3)^2}\) = \(\sqrt{25 + 9}\) = \(\sqrt{34}\) = 5.83 | ||||
Таблица 2. Проверка закона сохранения импульса
| Импульс | До удара (\(P_0\)) | После удара (\(P\)) | ||
| Вдоль оси X | \(P_{0x} = m_1 \sqrt{l_0}\) = 0.05 кг \(\cdot \sqrt{5.43}\) мм\(^{1/2}\) = 0.05 \(\cdot\) 2.33 = 0.1165 кг \(\cdot\) мм\(^{1/2}\) | \(P_{x} = m_1 \frac{\Delta x_1}{\sqrt{l_1}} + m_2 \frac{\Delta x_2}{\sqrt{l_2}}\) = 0.05 \(\cdot \frac{8.43}{8.66}\) + 0.05 \(\cdot \frac{5}{5.83}\) = 0.05 \(\cdot\) 0.973 + 0.05 \(\cdot\) 0.858 = 0.04865 + 0.0429 = 0.09155 кг \(\cdot\) мм\(^{1/2}\) | ||
| Вдоль оси Y | \(P_{0y}\) = 0 | \(P_{y} = m_1 \frac{\Delta y_1}{\sqrt{l_1}} + m_2 \frac{\Delta y_2}{\sqrt{l_2}}\) = 0.05 \(\cdot \frac{2}{8.66}\) + 0.05 \(\cdot \frac{-3}{5.83}\) = 0.05 \(\cdot\) 0.231 - 0.05 \(\cdot\) 0.514 = 0.01155 - 0.0257 = -0.01415 кг \(\cdot\) мм\(^{1/2}\) | ||
| \(P_0 = \sqrt{(P_{0x})^2 + (P_{0y})^2}\) = \(\sqrt{(0.1165)^2 + (0)^2}\) = 0.1165 | \(P = \sqrt{(P_{x})^2 + (P_{y})^2}\) = \(\sqrt{(0.09155)^2 + (-0.01415)^2}\) = \(\sqrt{0.00838 + 0.0002}\) = \(\sqrt{0.00858}\) = 0.0926 | |||
| Относительное отклонение \(\frac{|P_0 - P|}{P_0}\) = \(\frac{|0.1165 - 0.0926|}{0.1165}\) = \(\frac{0.0239}{0.1165}\) = 0.205 или 20.5% | ||||
ВЫВОД: В данном примере относительное отклонение импульса составляет 20.5%. Это достаточно большое отклонение, что может указывать на неточность измерений, влияние трения или другие факторы, не учтенные в идеальной модели. Для подтверждения закона сохранения импульса отклонение должно быть значительно меньше (обычно до 5-10%).
Таблица 3. Проверка закона сохранения энергии
| ЭНЕРГИЯ | ДО УДАРА | ПОСЛЕ УДАРА |
| \(m_1 l_0\) (кг \(\cdot\) мм) | \(m_1 l_1 + m_2 l_2\) (кг \(\cdot\) мм) | |
| 0.05 \(\cdot\) 5.43 = 0.2715 | 0.05 \(\cdot\) 8.66 + 0.05 \(\cdot\) 5.83 = 0.433 + 0.2915 = 0.7245 | |
| КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ | \(\frac{(m_1 l_1 + m_2 l_2)}{m_1 l_0}\) = \(\frac{0.7245}{0.2715}\) = 2.668 | |
ВЫВОД: Коэффициент восстановления, значительно превышающий 1, указывает на то, что в данной модели энергия не сохраняется, а, возможно, даже увеличивается, что физически невозможно для неупругого или упругого удара без внешнего источника энергии. Это может быть связано с некорректной интерпретацией формулы для энергии (например, если \(l\) не является мерой энергии, а просто пройденным путем), или с ошибками в измерениях/расчетах. Для упругого удара коэффициент восстановления должен быть равен 1, для неупругого - меньше 1.
Таблица 4. Оценка погрешности измерений
| Величина | среднее значение | погрешность | относительная \(\delta\) | ||
| систематическая | случайная | наибольшая | |||
| \(m_1\) (кг) | 0.05 | ||||
| \(m_2\) (кг) | 0.05 | ||||
| \(x_{01}\) (мм) | 10 | ||||
| \(y_{01}\) (мм) | 0 | ||||
| \(x_{02}\) (мм) | 20 | ||||
| \(y_{02}\) (мм) | 0 | ||||
| \(\bar{x}\) (мм) | 15.43 | ||||
| \(\bar{x_1}\) (мм) | 18.43 | ||||
| \(\bar{y_1}\) (мм) | 2 | ||||
| \(\bar{x_2}\) (мм) | 25 | ||||
| \(\bar{y_2}\) (мм) | -3 | ||||
Доверительная вероятность \(P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{N-1}\) = \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{7-1}\) = \(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6\) = \(1 - \frac{1}{64}\) = \(\frac{63}{64}\) = 0.984 или 98.4%
ВЫВОД: Для оценки погрешностей необходимо знать точность измерительных приборов (линейки, весов) и провести статистический анализ случайных погрешностей для повторяющихся измерений. Систематические погрешности связаны с неточностью приборов или методики, случайные - с неконтролируемыми факторами. Наибольшая погрешность - это сумма систематической и случайной. Относительная погрешность показывает, какую долю от измеряемой величины составляет погрешность. Доверительная вероятность 98.4% означает, что с такой вероятностью истинное значение измеряемой величины находится в пределах рассчитанного интервала.
Общий вывод по лабораторной работе:
В ходе выполнения лабораторной работы были проведены измерения координат тел до и после соударения. На основе этих данных были рассчитаны пути, импульсы и энергии. Анализ полученных результатов показал, что в данном примере наблюдаются значительные отклонения от законов сохранения импульса и энергии. Относительное отклонение импульса составило 20.5%, а коэффициент восстановления энергии оказался равным 2.668, что указывает на серьезные расхождения с теоретическими предсказаниями. Эти расхождения могут быть вызваны следующими причинами:
- Неточность измерений: Измерения координат с помощью линейки или сетки могут иметь значительную погрешность, особенно при определении точного центра тел.
- Влияние трения: В реальных условиях всегда присутствует трение (о поверхность, о воздух), которое не учитывается в идеальной модели и приводит к потере энергии и импульса.
- Неупругость удара: Если удар не является абсолютно упругим, часть кинетической энергии переходит в другие виды энергии (тепло, деформация), что нарушает закон сохранения механической энергии.
- Некорректная интерпретация формул: Возможно, формулы для скорости и энергии, использующие \(l\) как пройденный путь, не совсем точно отражают физический смысл в контексте данной установки, если \(l\) не является прямой мерой скорости или энергии. Например, если \(v = \sqrt{2gl}\) используется для определения скорости, то \(l\) должно быть высотой падения, а не просто пройденным путем по горизонтали.
Для повышения точности результатов и лучшего подтверждения законов сохранения необходимо:
- Использовать более точные методы измерения координат и времени.
- Минимизировать влияние трения.
- Провести большее количество измерений для статистической обработки и уменьшения случайных погрешностей.
- Тщательно проверить соответствие используемых формул физическому смыслу экспериментальной установки.
Несмотря на расхождения, лабораторная работа позволила ознакомиться с методикой проверки законов сохранения импульса и энергии и выявить факторы, влияющие на точность экспериментальных результатов.
Студент: ____________________ Дата: 202__